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la quale equazione esprime che gli S 3 tangenti alla Y 3 nei singoli punti 

 di una sua retta generica stanno in uno S 4 (anziché in uno S 5 , come av- 

 viene in generale). Viceversa, dalla (11) segue che x — h -\- r x k soddisfa 

 al sistema (8), e, come facilmente si verifica, in generale non ad altre eq. 

 di Lap. che non siano in esso contenute. Le V 3 integrali sono dunque, nel 

 caso parabolico, V 3 generiche fra le V 3 rigate con S 4 tangente fisso lungo ogni 

 retta generatrice. Per costruirle tutte, si osservi che, se nella (11) è B = 

 = B 2 = B 3 == , oppure b — b 2 — b 3 — , il luogo del punto h , oppure 

 del punto k, è una curva (anziché una superficie) ( 5 ): la V 3 si compone 

 allora di oo 1 coni generici. Se no, quei due luoghi sono rispettivamente due 

 superficie H e K , le quali vengono a essere riferite, per il tramite delle rette 

 generatrici di V 3 , in modo che i loro piani tangenti in punti corrispon- 

 denti h e k sono incidenti in un punto s [come mostra la (11)]. Se le linee, 

 siano (p e xp , inviluppate rispettivamente su H e K dalle tangenti hs e ks 

 risultano corrispondenti (ciò che in generale non avverrà), la retta hk della 

 V 3 riesce incidente a un'altra retta della V 3 infinitamente vicina (quella 

 che congiunge i punti rispett. della <p e della xp per h , k , infinitamente 

 vicini a questi punti) ( 6 ): le rette di V 3 si distribuiscono pertanto su oo 1 

 superficie sviluppabili. Se invece i sistemi delle linee g> e xp non risultano 

 corrispondenti, si assumano dei parametri t 2 , t 3 in modo che quelle siano 

 rispettivamente le linee (su cui varia) t 2 e t 3 ; allora h e k soddisfanno 

 alla ( 7 ) 



« 



uh + A (2) -f- vk + v 3 k (Z) = , 

 che si integra senz'altro e porge 



(12) x=e~ fudt ' j f(**)-Je UdT *[vk+v 3 k™-\ dr t J + 



/ essendo una funzione arbitraria. La (12) [scritta in corrispondenza di fun- 

 zioni w(r, , t 3 ) , v{r t , r 3 ) , y 3 (r 2 , r 3 ) fissate e di funzioni f,k variabili da 

 una coordinata all'altra] fornisce le coordinate di un punto che descrive la 

 V 3 integrale. Quindi, nel caso parabolico, riferendo la Y s integrale a un 

 opportuno sistema di parametri, le coordinate di un suo punto sono date dalla 



(12) , oppure da 



(13) x = E(t 3 ) +f 1 P(f,,f,), 



USà ( 5 ) Q uel punto non può restare fìsso; se no, la V 3 sarebbe un cono, e rappresen- 

 terebbe almeno tre eq. di Lap. lin. ind. 



( 6 ) Anche la conferma analitica ne è immediata. 



( 7 ) Assumiamo senz'altro, nella seguente equazione, uguale a 1 il coefficiente di h<- 2 \ 

 potendoci sempre ridurre a tale ipotesi, purché quel coefficiente sia =J= , e ciò è lecito 

 supporre, se non si vuole ricadere sul caso dianzi trattato. 



