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infine da 



(14) * = E(r 2 ,*3) + *iE< 2, (T 2 ,T 3 ), 



dove E e F sono funzioni arbitrarie ( 8 ). 



5. Per k = 4 vogliamo ancora risolvere il problema A) , nel caso 

 di g = 2 (il solo che resti da trattare). Allora r è una congruenza di rette, 

 di classe uno, nello S 3 delle quadriche associate: e per le singole rette 

 di r passano oo 2 quadriche di 2: la dimensione d di 2, in base alla (5), 

 può assumere i valori 2, o 3, o 4. Il primo caso non si può verificare, se 

 non quando le rette di r — che allora appartengono a tutte le quadriche 

 di 2 — stanno in un piano. Per d = 2 , il sistema 2 è dunque costituito 

 da oo* quadriche contenenti un piano fisso. 



Sia ora d = 3. Se la congruenza r è d'ordine zero, cioè è formata 

 dalle rette di un piano <w, il sistema 2 contiene un sistema lineare oo 2 

 (e non più ampio), avente per base quel piano. Infatti le oo 2 quadriche 

 di 2 che passano per un punto A di w — il quale non sia punto base 

 di 2 ( 9 ) — contengono per intero le rette generiche di r uscenti da A , e 

 quindi tutto quel piano. — Se invece l'ordine di T è > , le oo 2 quadriche 

 di 2, passanti per un punto generico dello spazio, vengono a contenere le 

 rette di r per quel punto, e perciò ( 10 ) 2 ha la jacobiana indeterminata. 

 D'altra parte, su ogni retta generica di r, le quadriche di 2 segano una 

 stessa coppia di punti (distinti o no), e pertanto, non potendo le rette di r 

 concorrere tutte in un punto, segue che 2 è dotato di una linea base. Tra 



1 vari sistemi lineari oo 3 di quadriche a jacobiana indeterminata ( u ), si po- 

 tranno dunque ritenere come possibili sistemi 2 il sistema delle quadriche 



( 8 ) Il primo tipo di soluzioni manca fra quelli assegnati dal Bompiani (al n. 11 

 della sua Nota citata). La ragione consiste in ciò, che, come forma canonica del sistema 

 parabolico in questione, egli assume la nostra (8) con a 3 = (ved. il n. 7 della sua Nota): 

 ma la riduzione a una tal forma si può fare, jolo se il sistema differenziale nella 



= 0, ciò che non segue 



F : F< x > = a 2 F< 2 > + « 3 F< 3 > =0 è completo, cioè se 



a 2 a 3 



dalle condizioni di integrabilità (9). Considerando più in generale, come fa il Bompiani, 

 un sistema parabolico di v equazioni a caratteristica per una funzione x di Ti variabili 

 indipendenti, si trova che una critica analoga non ha luogo per v> 2; mentre, per v — 2, 

 alle Vjt integrali che egli assegna occorre aggiungere le generiche oo' 1- 1 di rette con S?k—a 

 tangente fisso lungo ogni generatrice (per le quali si può dare una rappresentazione ana- 

 litica analoga a quella qui assegnata per A = 3). 



( 9 ) Un tal punto esiste certo; altrimenti in 2 vi sarebbero quadriche contenenti un 

 piano arbitrario. 



( 10 ) Cfr. i due enunciati a pag. 235 di Berlini, Introduzione alla geometria pro- 

 iettiva degli iperspazi. Pisa, 1907. * 



( u ) Cfr. Toeplitz citato nell'ultima nota a piè di pagina della Nota I. 



