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ci troviamo nel caso a), ovvero in uno degli altri due b) o c). Pel caso a) 

 dimostreremo che si ha la forinola di riduzione 



(A > KHy)' 



dove N« denota la norma del numero co. 



In questo primo caso a) V ideale principale (p) coincide coli' ideale 

 primo P (di 2° grado) ed è NP=jo 2 . La congruenza (1) equivale perfet- 

 tamente all'altra 



x 2 = ao (mod p) , 



dalla quale prendendo le norme dei due numeri congrui x 1 , <o. risulta 



(Na;) s = Nft> (modp); 



la risolubilità della (1) porta quindi la risolubilità dell'altra nel campo 



razionale 



(2) S 2 = N« (modp)- 



Vediamo dunque che, se nella (A) il valore del simbolo a sinistra è 



-f- 1, tale è anche quello del simbolo a destra. Basterà quindi provare che 



/Na>\ r<B~l 

 inversamente se I — j = -f- 1 è anche I \ = -f- 1 , cioè che, supposta 



solubile la (2) (nel campo razionale), è pure solubile la (1) nel campo 

 K(j/m) . 



Cominciamo per ciò dal supporre m =$= 1 (mod 4), indi = |/?w, e 



posto 



a> = a -\- b \/m , 

 con a , b interi razionali, avremo 



No) = a 2 — mb 2 . 



Per ipotesi esiste un intero razionale s che soddisfa alla congruenza (2) 



s 2 = a 2 — mb 2 (mod p) ; 



dobbiamo provare l'esistenza di due numeri razionali interi t , u , tali che 

 sussista la congruenza 



(t-\-u\/ m) 2 = a-\- b y m (mod p) . 



Questa si scinde, nel campo razionale, nelle due 



\ t 2 + mu 2 == a 

 (4) (mod p) 



w 2tu =b y F 



