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e se dapprima consideriamo il caso b = (mod p), sarà certamente 



= 1"^") = 1 6 < *" >vremo P rovare eae anCQe ^"p~_j = ~^*' oss * a 



che le (4) ammettono soluzioni. E infatti, siccome a (mod p), perchè co 

 non è divisibile per P, avremo 



Nel primo caso basta prendere u — e per / una radice della congruenza 

 t* = a (mod jo) ; nel secondo caso si assuma t = e si prenda « come 

 radice della congruenza 



mu 2 = a (mod p) , 



la quale è solubile, perchè m è non residuo come a (mod p). 

 Sia ora £ ^= (mod. p), e si osservi che da 



(Nx) 2 = (t ì — mu ì ) 2 = s* (mod ^) 



segue 



t 2 — wm 2 = ±« (mod jo), 

 che, combinata per addizione e sottrazione colla prima delle (4), dà 



(5) (mod />) . 



2mu 2 = a + g 



Ma per la prima delle (3) 



2 (a — s) • 2(a -f- «) = 4mb 2 (mod jt>), 



onde, essendo b sfs (mod jo), f — I = — 1, segue 



^ 2(a — g) j ^ 2(a +£) \ j 



Poniamo p. e. che sia 



+ 1 • = 



e scegliendo nelle (5) i segni superiori, queste risulteranno solubili. Inoltre, 

 dalla loro moltiplicazione, risulta 



4 mt 2 u 2 = a 2 — s 2 = mb 2 (mod p) , 



ossia 



2 = rt b (mod jo) , 



