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e disponendo dei segni di t , u possiamo così soddisfare anche la seconda 

 delle (4). Nel caso m 1 (mod 4) la formola (A) è così dimostrata. 



3. Per provare che sussiste la medesima formola (A) anche nel caso 

 m = 1 (mod 4), ove è da prendersi 



6 = 2 ' 



osserviamo che l'equazione quadratica per si scrive ora 



(6) ^ + 6-^^ = 0, 



e se a -f- bd è un intero qualunque del corpo (a , b interi razionali), per 

 la sua norma si ha 



N(« + bd) = « 2 - m ~ 1 b 2 — ab. 

 Dobbiamo ora provare che, se è solubile in s la congruenza 



yn j 



(7) s 2 ==a 2 — — è 9 — ab, 



è solubile anche l'altra in t , u 



(t + «6»)* = a + bO (mod p) . 



Questa, sviluppata con riguardo alla (6), si sdoppia, nel campo razionale, 

 nelle due 



l ,1 I m — 3 2 



) r -1 : — U = fl 



(8) j 4 (m0 d p). 



[ 2 tu — W* =*. 



Come al numero precedente, consideriamo dapprima il caso b = (mod 

 indi a =f= (mod ^). 



Se 



" p 



J = -\- 1 prendiamo w = e £ come radice di t* = a (mod /j); 



se invece ^— j = — 1, facciamo u = 2t e, per soddisfare anche alla prima 

 delle (8), prendiamo £ dalla congruenza 



mt 2 = « (mod £)) , 



che è solubile perchè a ed sono insieme non residui (mod p). 



Considerando ora il caso generale a (mod p), alle (8) associamo 

 l'altra 



