ossia 



w — ■ 1 



(8*) t* — m 2 — tu ^= — s (mod p) . 



Le (8), (8*), risolute rapporto a t 2 ,u 2 ,tu. dànno il sistema equivalente: 



/ m -f- 1 m — 1 , , . _ . 



mt z = — ^ — a + 4 (b + 2s) 



(9) J mu 1 = 2a — {b± 2s) (mod jo) 



. m — 1 , 

 mtu = a-\- — - — o s . 



Ma dalla (7), scritta sotto la forma 



(2a—bf — 4s 2 = (2a — b — 2s){2a — b + 2s) = mè 2 (mod p) , 



avendosi è =4= (mod />) , ^— jl = — 1, vediamo che il prodotto 



(2 fl — è — 2s) (2a — è + 2«) 

 è un non residuo (mod p), cioè 

 / 2a — b— 2s 



P 



E allora nelle (9) prendiamo quella determinazione di segni che rende, 

 nella media delle (9), il secondo membro non residuo (mod p); così questa 

 sarà risolubile e si potrà scegliere fra due valori opposti per u . Dopo ciò, 

 la terza delle (9), essendo u^O (mod p), individuerà un valore di /, che 

 soddisferà insieme la prima delle (9). Quest' ultima cosa risulta evidente 

 servendosi dell' identità 



i . m — 1 . ) 2 \ m + 1 . m — 1 . , _ . ) ( _ ;, _ ; 

 a -f- — — bz+is [ = ) — ~ 'i + — — (b ± 2s) j • j 2a — (b =£ 2s) 1 



la quale, a meno del fattore m, non è altro che la (7). 



Concludiamo adunque : Per quegli ideali primi P del corpo quadra- 

 tico, che sono al tempo stesso ideali principali, vale la formola di ridu- 

 zione (A) del simbolo di Dirichlet al simbolo di Legendre. 



i m \ 



4. Veniamo al secondo caso b), ove I — ) = -j- 1. Qui l'ideale prin- 



cipale (p) si decompone nel prodotto PP' di due ideali primi coniugati e 

 diversi, che possiamo definire mediante le loro basi come segue. 



