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Si consideri dapprima il caso m 4= 1 (ruod 4), e indichi a una radice 

 della congruenza 



(10) a % = m (mod p) ; 

 potremo prendere 



(11) P = 0,« + f/w], 

 indi pel coniugato 



(11 1 ) F=0 , — tt-f fm\ . 



Se si suppone solubile la congruenza 



(12) x 2 = a + b]/m (mod P) , 

 cioè 



~a -\-bym 



D 



p 



siccome NP=jo, e i numeri razionali 



0,l,2,,...p-l 



formano già un sistema completo di numeri incongrui (mod p), il valore 

 della incognita x nella (12) può assumersi razionale intero. Ma ogni nu- 

 mero dell'ideale P, colla base (11), ha la forma 



rp s(u -\- f/m) (r ,s razionali interi) 



e la (12), ovvero 



x* = a -f- b \/m -f- rp -j- s (ce -\- ]/m) , 

 si sdoppia nelle due nel campo razionale 



^ X 2 = a -f- sa -j- rp 

 ( s =- b 



che equivalgono alla congruenza 



x 2 = a — ab (mod p). 



n . r 'a + b fm~\ ... (a — ab\ , , 



Oosi, se I p- 2 — J= + 1 e anche ^ — - — j = -f- 1, ma anche vice- 

 versa da questa seconda eguaglianza segue la prima. Nel caso attuale 

 =f= 1 (mod 4) la forinola di riduzione domandata si scrive dunque 



m 



(B, [-±ìi] _(•=•*) 



