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Matematica. — Superfìcie del 4° ordine con gruppi infiniti 

 discontinui di trasformazioni birazionali. Nota V del Corrispon- 

 dente Gino Fano ('). 



1. A. seguito di quanto detto nella precedente Nota IV ( 2 ). esaminiamo 

 ora il caso di una superficie del 4° ordine F 4 condotta nel modo più gene- 

 rale per una curva di genere 2 e ordine dispari m = 2h — 1 (m > 5 , h >' 3). 



Per questa curva passa un sistema lineare di superficie di ordine h, non 

 conteuenti la F 4 come parte, di dimensione non inferiore a 



È(»rH-ilVH- , -'»< M - l, - a+1 '-*+ a 



le quali segano ulteriormente F 4 secondo un sistema, appunto <x> h+2 , di 

 curve di ordine 2/ì-J-l e genere -4-2. Perchè la C*/ 1-1 stia, oltre che 

 sopra F 4 , anche in una F h ~ l non contenente F* come parte, occorrono ancora, 

 se h > 3, altre h — 3 condizioni. 



La Cj 71-1 h= y e la sezione piana C costituiscono sopra F 4 una base di 

 determinante 



= — 1(2/' - — 8{; 



base che sarà perciò minima, ogni qualvolta (2// — l) 4 — 8 non ammetta 

 alcun divisore quadrato perfetto. Supponiamo per ora che così sia. 



La determinazione delle reti di genere 2 esistenti sopra F 4 (del tipo 

 Ay-(-jwC) dipende dalla risoluzione in numeri interi dell'equazione: 



(1) X*-\-(2h— 1) A/&4-2p«= 1; 



e la determinazione delle eventuali curve razionali (di genere virtuale zero, 

 e grado virtuale — 2) dipende dall'altra equazione: 



(2) A 2 f (2/; — 1) Xfi -f 2^ = — 1 . 



Per ogni soluzione intera di una delle due equazioni precedenti, sarà X 

 dispari (se no sarebbero pari tutti tre i termini del 1° membro), e, per 



( l ) Pervenuta all'Accademia il 20 luglio 1920. 

 ( s ) Questi Rendiconti, pag. 175. 



Rendiconti. 1920. Voi. XXIX, 2° Sem. 30 



2 2,11 — 1 

 2// — 1 4 



