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conseguenza, fi pari (se no sarebbe di nuovo pari il 1° membro) Pos- 

 siamo perciò applicare la sostituzione: 



X = t — (2Ji — 1) u [i = 2u 



trasformando le (1) e (2) nell'equazione di Permat-Pelì (col doppio segno 

 al 2° membro): 



(3) t* — \{2h — 1)* — 8\u* = ±l 



della quale si dovranno cercare tutte le soluzioni intere, tali che la curva 

 corrispondente 



(4) \t — (2h — l)u\y + 2uC 



risulti effettiva, vale a dire abbia l'ordine 



\t—(2h — l)u\(2h—l) 4-8w>0. 



A questa condizione soddisfanno (come nella Nota prec.) le soluzioni per le 

 quali t è positivo. Infatti la condizione indicata può scriversi 



(2/, _ 1) t — |(2// — l) 2 — 8 ( u ^> ; 



e si può verificare anzitutto ch'essa è soddisfatta se t , u sono entrambi 

 positivi ( 2 ). Premesso questo, è chiaro ch'essa sarà pure soddisfatta conser- 

 vando invariato £ e cambiando di (solo) segno la u. 



L'equazione (3) ha infinite soluzioni se al 2° membro si prende il 

 segno -J- , e può invece averne o anche non averne quando vi si prenda 

 il segno negativo. Poiché il coefficiente (2h — l) 2 — 8 è congruo, mod. 4, 

 a -4-1» y i sono certo soluzioni, col segno negativo al 2° membro, se detto 

 coefficiente è numero primo, mentre possono esservene o anche non esservene 

 se (2// — l) 2 — 8 non è numero primo ( 3 ). I valori più piccoli di h pei 

 quali (2/? — l) 2 — 8 non è numero primo sono h = 7, 8 , 14 , 15 , ... ; per 

 questi valori di li la (3). col segno negativo al 2° membro, non ammette 

 soluzioni. 



(*) Anzi, nella (1) deve essere fi multiplo di 4; nella (2) invece fi semplicemente 

 pari (non multiplo di 4). Perciò nella (3) sarà u pari o dispari (t invece rispett. dispari 

 o pari), secondo che vi si prende il segno -)- oppure il segno — . 



( 3 ) Dalla (3) emerge che, per t,u positivi, sarà t <^(2h — 1) u ; se dunque, nel 

 primo membro della (3) stessa, a uno dei due fattori t del primo termine sostituiamo la 

 quantità maggiore (2k — renderemo positivo detto membro. Dopo diche, dividendo 

 per m , si ha quanto richiesto. 



( s ) Legendre, Théorie des nombres (Paris, 1830), voi. 1°, pag, 63, come pure ta- 

 vola X, nota alla fine del volume. 



