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2. Supponiamo ciie la (3), sempre col segno negativo, ammetta solu- 

 zioni; e sia i\ . Ui la più piccola sua soluzione positiva. Allora l'espressione 



(3) t n -^u n V : D = (t l + u ì j/D)" (D = (2h- l) 2 — 8) 



darà per valori dispari di u tutte le soluzioni intere positive della stessa 

 equazione, e per valori pari di n quelle della stessa (3) col segno -f- al 

 2° membro. 



La soluzione t } , u x conduce a una curva razionale 



y x = \U — (2// — 1) «4 y + 2« X C = 2MJ — |(2A - 1) u, — y 



che si può effettivamente costruire sopra F 4 , come residua di un gruppo 

 di (2/; — \)ui~i\ curve y rispetto al sistema multiplo secondo 2u x delle 

 sezioni piane. Invero, quest'ultimo sistema, essendo di genere 8w*-f-l, è 

 anche di dimensione Su\ -f- 1. Ora, la prima y impone a una F 2 " 1 obbligata 

 a contenerla 2ui ■ (2h — 1) — 1 condizioni (al più); e, perle successive y, 

 questo numero diminuisce di due unità per volta; ricordando pertanto che 

 la somma dei primi r numeri dispari vale r 2 , le condizioni imposte a una 

 F 2 " 1 , complessivamente, dalle (2h — 1) u x — /, curve y saranno (al più) in 

 numero di 



2a, • (2h — 1) j(2* — 1) U x — U\ — J(2/.' — 1) U\ — t\ ( 2 

 = {(27* — \) Ux — U\ |(2fc—l) «, + <,} 

 = (2h — 1)* uì — lì= 8m 2 + 1 . 



Esiste dunque certo una F 2 " 1 , non contenente F 4 come parte, e pas- 

 sante per (2 7 > — 1) U\ — t x curve y; e esiste quindi la curva, già ricono- 

 sciuta come razionale, intersezione residua di tale F 2,, < con F 4 . Insieme ad 

 essa esisterà pure l'altra curva razionale \t\-\- (2 ?! — l)u l \y — 2u 1 C, tras- 

 formata della prima mediante l'involuzione 1(7'= t , u' = — u), cui appar- 

 tiene la rete \y\. Tali curve saranno irriducibili; vedremo infatti che sopra F 4 

 tutte le altre curve di genere virtuale zero contengono o l'uria o l'altra di 

 queste come parte. 



3. Le altre soluzioni positive t» , u„ dell'equazione (3), essendo t n , u„ 

 definiti dalla (5). condurranno a curve 



y n = \t n — (2I> ■ — 1) u n j y -f 2u n C 



di grado virtuale — 2 oppure +2, perciò di genere virtuale zero oppure 

 due, secondo che n è disparì o pari, e perciò secondo che si tratta di solu- 

 zioni della (3) col segno — oppure col segno -j- al 2° membro. 

 Per il = 2 si ha : 



n = \t, — (2h— y + 2«,C 



= |2fl+l — (2ft - l)-2« 1 My + 2-2«,< 1 C = y-|-2<,y,^(y + <iyi) + / I yi 



