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sistema \y J rt\Y\ \ ? di ima parte fìssa, multipla della curva razionale y l5 

 fondamentale per | y f - t x yi\. 



Le rimanenti soluzioni dell'equazione (3), per le quali / è positivo e 

 u negativo, conducono ai sistemi trasformati di questi ultimi mediante l'in- 

 voluzione S . 



Sulla superficie F 4 non esistono dunque altre reti di genere 2 , effet- 

 tive e irriducibili , all' infuori della rete y (nè altre curve razionali, effet- 

 tive e irriducibili, all' infuori di y x e della sua trasformata mediante l'in- 

 voluzione I). 



Ogni trasformazione birazionale di F 4 deve perciò mutare in sè 

 stessa la rete |y|, unica rete effettiva, irriducibile, di genere 2, e non 

 può essere diversa dall' involuzione I. La forma quadratica fondamentale 

 di F 4 , cioè il primo membro della (1), non . ammette infatti altre sostitu- 

 zioni lineari che trasformino in sè la coppia di valori X = 1 , fi — cor- 

 rispondente alla rete \y\, all' infuori dell' identità e della sostituzione invo- 

 lutoria X' = X -f- (2' 7 ' — \ ) fi , fi'— — ,« , immagine della I . Perchè vi fossero 

 sopra F 4 altre trasformazioni, dovrebbe dunque esservi una proiettività non 

 identica trasformante in sè ogni sistema lineare; il che non è possibile 

 (per le stesse ragioni accennate alla fine del n. 3 della Nota IV). 



4. Se invece, contrariamente all' ipotesi fatta al principio del n. 2, 

 l'equazione (3), col segno negativo al 2° membro, non ammette soluzioni, 

 vi saranno tuttavia egualmente soluzioni della stessa (3) col segno -f- al 

 2° membro ; e, in corrispondenza di queste, la (4) fornirà sistemi di grado 

 virtuale + 2. Tali sistemi saranno certo lutti irriducibili, e saranno 

 perciò effettive reti di genere 2. Infatti, sopra F 4 non esistono in questo 

 caso curve irriducibili di genere virtuale zero (perchè la (3), col segno ne- 

 gativo, non ammette soluzioni), nè di genere uno (perchè il discriminante 



— \2h — I) 2 — 8j 



non è quadrato perfetto) ( 1 ) ; perciò la curva generica di uno dei sistemi in 

 parola, se riducibile, non potrebbe essere composta che di parti irriducibili, 

 tutte di genere > 1 , appartenenti a sistemi almeno oc 2 , e perciò anche 

 certo incontrantisi tutte a due a due in un numero di ponti >0; e con 

 tali parti, se in numero > 1 . non si possono formare che sistemi di ge- 

 nere ]>2. 



Poiché la superficie F 4 contiene infinite reti effettive di genere 2, essa 

 ammetterà tutte le involuzioni definite da queste singole reti; involuzioni 

 che operano sopra queste reti in modo identico a quanto si è veduto nella 

 Nota IV per le F 4 contenenti curve di genere 2 e di ordine pari, e che 

 generano perciò un gruppo analogo. 



( l ) Severi, Complementi alla teoria della base ecc., n. 7. 



