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Invero, l' involuzione li cui appartiene la rete composta di curve 

 di ordine 2h — 1 , determina sui sistemi lineari di F 4 la sostituzione 

 y' = y ,C = (2h — 1 ) y — C , e sopra t , u la solita sostituzione t' = t , 

 u' — — u . Indicando ora con ti , u 1 la più piccola soluzione positiva della (3) 

 (col segno -j-), e con t t ,u t , ecc. le successive, l'involuzione ì t , cui ap- 

 partiene la rete 



(6) \à\ = lt l — (2h — l)ui\ Y +2u 1 U 



(che è composta di curve di ordine £,(2/; — 1) — Dui) muterà, per analogia, 

 il sistema | C | delle sezioni piane nel sistema 



C"=\ti(2h — 1) — ì)u\S — C 

 = j d(2h _ 1) — Dk, I \h — (2h — 1)u 1 \ y+ ]2u ì [ti(27i — 1) - Da,] — 1{ C 



che, con opportune riduzioni, assume la forma 



C" = \{2li — 1) t, — (D + 4) u t | y — {U - (2A — 1) ut) C . 



D'altra parte l'involuzione I 2 , mentre muta y e C in nuove curve y" e C", 

 lascia invariate le <f, e perciò il 2° membro della (6) ; scrivendo pertanto : 



J ti — {2h — 1) ui\ f -\- 2ui C".= \ti - (2h - 1) ui \ y + 2«,C 



e tenendo conto dell'espressione già trovata per C", si ricava 



/'= \t t — (2h— l)j*,|y + 2«,C: 



La rete |y| = (^ .« ) è dunque scambiata dall'involuzione I e colla rete 

 (£ s , u 2 ), come avveniva nella Nota IV ; e si riconosce pure facilmente, per 

 induzione da n a n + 1 , che la stessa involuzione scambia fra loro, anche 

 nel caso presente, tutte le coppie di reti del tipo (t n - t , — u H - 2 ) e (t n , u n ). 

 Le reti di genere 2 esistenti sulla P 4 ora in esame si distribuiranno perciò, 

 come nella Nota IV, in due successioni, sulle quali le involuzioni li e I t e 

 loro prodotti opereranno nello stesso modo della Nota cit. ; nè, all' infuori 

 di questi prodotti, la F 4 ammetterà altre trasformazioni birazionali. 



Alle F 4 considerate nella presente Nota sono pure applicabili le con- 

 siderazioni svolte alla fine della Nota prec. ; è a ritenersi perciò che l' ipo- 

 tesi, anche qui introdotta al n. 1. che la base (/ , C) sia minima, non implichi 

 alcuna restrizione ulteriore ; sia cioè verificata ogni qualvolta la F 4 sia con- 

 dotta nel modo più generale per una curva di genere 2 e ordine 2h — 1 . 



