Viceversa se %p{s) soddisfa alla (13) soddisfa anche alla (14). Infatti chia- 

 miamo xp' il secondo membro della (13). Si ha, pel ragionamento del § 3, 

 che •// soddisfa alle equazioni 



\ (rs)sxp\s) ds = per r>«, 



I (rs) xp'(s) ds — e~ u l (rs) tp(s) ds per r < a : 



di qui essendo per la (13) ip' = if) si deducono le (14). 



Se ora dimostro che la (14) non possono avere altra soluzione che 



tp(s) = , tale sarà anche l'unica soluzione della (13) e quindi — - non sarà 



parametro dell'equazione (di Fredholm) (A 2 ): questa sarà pertanto risolubile 

 in modo unico. 



Supponiamo infatti che le (14) abbiano una soluzione i/>={=0. La 

 funzione 



(15) Vi? ,g) = £ <r(*~ *) s — * SF ('+«) s ~j I t (rs) tff(s) ds 



è, per quanto s'è detto al § 1 , armonica e si annulla all'infinito, insieme 

 colle derivate prime. 



Inoltre la prima delle (14) mi dice che la derivata rispetto a s è 



continua anche attraverso i piani s = — , g — — per r^> a. 



Ci di 



La seconda delle (14) esprime che la funzione prende sui piatti il valore 

 zero. Ma tale funzione 9 non può che essere zero identicamente. 



Consideriamo infatti lo spazio S limitato da due cilindri, aventi per 

 asse l'asse delle 3, che abbraccino separatamente i piatti e che si faranno 

 variare in modo che il loro raggio tenda ad a mentre l'altezza tenderà a 

 zero, e da una sfera col centro nell'origine e raggio abbastanza grande, e 

 che dovrà farsi tendere all' infinito. 



Applichiamo allora la nota formula 



J^JcpdS +J^9»|f rftf = » 

 dove v si intende la normale interna alla superficie e che limita S; e 



Passando al limite, nel modo detto sopra, Y J deve tendere a zero, perchè 



