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In una Memoria, che verrà inserita nel Nuovo Cimento, mostrerò, per 

 extenso, come sono successivamente pervenuto (in seconda approssimazione) 

 agli ulteriori resultati che qui mi permetto riassumere. 



semplicemente connessa, viene supposto ovunque regolare ed irrotazionale. Esisterà, perciò, 

 il potenziale q>(% ,y) (potenziale di velocità) uniforme e regolare in L. La funzione <p 

 sarà funzione armonica, a motivo della incompressibilità del fluido; quindi si potrà defi- 

 nire la funzione associata ip (detta funzione di corrente). Denotate con « e » le proiezioni 

 della velocità relativa del fluido in un generico punto (x , y), ammetteremo naturalmente 

 che sia positivo il limite inferiore dei valori di u, dovendosi, nel nostro caso, ogni singola 

 particella fluida, ritenere dotata di velocità assoluta non rilevante in confronto alla velo- 

 cità di propagazione ( — c,o), in modo, cioè, che la suddetta velocità relativa possa diffe- 

 rire soltanto di poco dalla (c , o). Ciò premesso, posto q> -j- ixfj = f, u — iv — w , e con- 

 siderato un piano di Gauss rappresentativo dei valori f, sul quale la striscia L viene 

 rappresentata in modo conforme dalla striscia limitata dalle rette xp — o e V — ? (essendo q 

 la portata del moto relativo per unità di larghezza del canale, nell'ipotesi di ritenere 

 unitaria la densità del liquido), il Levi-Civita pervenne a caratterizzare il problema mec- 

 canico, relativo al suddetto moto di un liquido pesante, mediante la seguente equazione 

 funzionale: 



(i) 35 È w(f+ n \w(f-M — ig ! • * - ■ ; ì = • 



df\ V ' V V VI (w(f-\-iq) w{f—%q)\ 

 la quale può dirsi insieme differenziale e alle differenze finite. In essa i = y — 1 , mentre g 

 è la grandezza dell'accelerazione della gravità, ed f è la variabile complessa qp + tV» 

 tutto essendo ricondotto alla determinazione di integrali w(f) della (1), reali sull'asse 

 reale, regolari nella striscia if- = ± q , finiti all'infinito e tali chela loro parte reale non 

 scenda, in cotesta striscia, al disotto di una costante positiva (del resto comunque piccola). 

 Il caso che si tratti di onde oscillatorie, si traduce analiticamente nella periodicità di w{f) 



titif 



(con periodo reale), per cui, allora, posto £ = e u (dove w, quantità positiva, rappre- 

 senta il periodo), la funzione w(f) diventa funzione uniforme e regolare della variabile 

 complessa f nella corona corrispondente, nel piano f , alla suddetta striscia. Posto, inoltre, 



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a = e u (con che « resulta frazione propria), la corona, corrispondente alla striscia 

 \p = ±q, si trova limitata, internamente, dalla circonferenza |f| = « ed, esternamente, 



dalla circonferenza = — . Posto, infine, w — c(\ -\- e) (dove c rappresenta la velocità 

 ce 



di propagazione), avremo che l'equazione delle onde di tipo permanente, nel caso si tratti 



di onde oscillatorie, assume la forma superiormente riprodotta nel testo, essendo k = . 



L'equazione in discorso può, brevemente, scriversi A(e) = B(e), dove A, come si vede, è 

 un operatore lineare (nei riguardi di e e della sua derivata), mentre B è un operatore 

 non lineare. 



L'equazione considerata dal Levi-Civita come caratteristica delle soluzioni appros- 

 simate è l'equazione A(e) = 0. Ricordiamo come s viene, insieme con a, supposta svilup- 

 pabile in serie di potenze intere e positive di un parametro y ; sicché a = <*„ + S(;') , 



essendo, in prima approssimazione, « — «<>= \\ 1 e< ^ 6 = £l =^ ~\~ (soluzione 

 di Airy). Ricordiamo, poi, come la £, in seconda approssimazione, si ottiene considerando 



