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opera: questa forma speciale pone in stretta relazione le equazioni funzionali 

 cui essa dà origine coli' importante teoria dell'iterazione analitica. In due 

 Note, in cui riassumo risultati della seconda parte del lavoro testé accen- 

 nato ( 1 ), ho cercato di porre in luce quella relazione: riporto qui uno dei 

 risultati più semplici, e riferentesi al caso più ovvio, al quale sono giunto 

 in questo ordine di idee. 



Sia u{%) un elemento di funzione analitica, regolare per ^=0, nullo 

 in quel punto, e con a (0) = a , | a \ <C 1 ■ È noto come in tale ipotesi esista 

 una funzione (o(x), pure regolare per x= e nulla in quel punto, soddisfa- 

 cente all'equazione di Schroeder 



(1 ) oo(a(x)) = aca(x); 



essa è determinata da &>'(0) = 1 . La a>(x) è la ben nota funzione di Koenigs, 

 e nella citata Nota Appunti su alcuni problemi di iterazione è dato un 

 metodo nuovo ed assai semplice per la sua determinazione. Ciò posto, data 

 l'equazione, del tipo di Fredholm, 



(2) <p(r) — k(p(a(x))=f(x) , 



dove f(x) è una funzione analitica regolare per x = 0, nulla in x=0, 

 e (p(x) è una funzione incognita che si richiede pure essere analitica rego- 

 lare per x = , la soluzione ne è data da 



per tutti i valori di k diversi da a~ n {n= 1,2,...). Le q» sono determi- 

 nate come coefficienti dello sviluppo di f(x) in serie di potenze di to(x), 

 sviluppo facile a determinarsi formalmente, e che è, sotto le ipotesi ammesse, 

 assolutamente ed uniformemente convergente in un intorno di x = 0. Si 

 scorge facilmente, da questo breve riassunto, come le a~ n e le m n (x) siano, 

 in questa teoria, rispettivamente i numeri e le funzioni invarianti (gli auto- 

 valori e le autofunzioni) della teoria delle equazioni integrali. Il carattere 

 analitico della (3) è manifesto: regolare in un intorno di x = rispetto 

 alla variabile x, meromorfa coi poli a~ n rispetto alla variabile k . \\ pro- 

 dotto infinito 



oo 



(4) [1(1 -A*») 



n=l 



che, per essere |«|<]1, è una trascendente intera — del resto ben nota 



(*) S'opra alcuni nuclei analitici. (Rend. della R. Accad. delle Scienze di Bologna, 

 9 aprile 1916). Appunti su alcuni problemi d'iterazione. (Ibid., 20 maggio 1917). 



