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et (p p , §'p) tendent respectivement vers deux points y et 8 appartenant à P 

 et dont la distance est A . Un tei couple est donc mis en évidence dans 

 tous les cas, sauf si un point p' p vient à droite de b. Il est à remarquer qne 

 ce couple est, parrai tons ceux qui véritìent les conditions ò — y = A , u l <.y , 

 celili où y et ó ont respectivement les plus petites valeurs. 



Oonsidérons les deux suites constituées chacune de points distincts (en 

 norabre impair par exemple, la parité étant indifferente): 



«! , ai , a t , ... , a n , a n , a n+i , et pi , Pi , p t , ... , p n , p„ , p n -t-i • 



Deux lettres a , p occupant le méme rang dans les deux suites, ont le 

 méme indice, Fune est accentuée, l'autre ne l'est pas, et elles désignent 

 deux points dont la distance est l . Les deux suites forment donc deux 



rigures e'gales. 



Je dis que cimenti des intervalles mtermédì&vres de la suite 

 (a, . a[) . (a[ , a s ) , ... , (a' n , a n+1 ) , 



stirpasse en longueur Vun au moins des deux intervalles qui lui soni adjaéenfs 

 dans la méme suite. 



Nous montrerons successivernent : 1°) que l' intervalle a p a' p surpasse 

 Tun au moins des deux intervalles cc' p _ia p et a p a p+ì si p = 2 , ... , ou n; 

 et 2°) que l' intervalle a' p a p+ i surpasse l'un au moins des deux intervalles 

 apcc' p et a p+l a' p + 1 pour p — 1 ou (n — 1) . 



Les lettres accentuées désignent des points étrarsgers a P. Soient respec- 

 tivement tip et u'p les intervalles contigus à P contenant a' p et p' p . u' p a 

 pour extrémité droite a p+i , comme u'p a pour extrémité droite p p . On a donc 



^-- > 6t Up PpPp ■ 



1°) L' intervalle u' p -i est séparé de u' p (p = 2 , ... ,n) par un segment s' p 

 dont l' extrémité gauche est a p et dont l'extrémité droite est intérieure.à 

 l' intervalle a p a' p , puisque a' p est intérieur à u' P . On a évidemment 



Mp-i!> ctp-i'ap . u' p Z> a' v ccp+i , Sp<Capa . 



Mais, P présentant le caractère (À) . 4 est au moins égal en longueur 

 à l'uu des deux intervalles u v _ x et u' v . Donc, a p a' p surpasse l'un au moins 

 des deux intervalles adjacents a' v _iUp et a' p a p+l . 



2°) Ou démontre exacteraent de méme que, des deux intervalles p' p p p 

 et P'p+iPp+i conteuus respectivement dans u' v ' et u p+l , l'un au moins est 

 surpasse en longueur par p p P'p+i , qui est supérieur au segment s' p ' séparant 

 u'p de u'p+i. Mais p' p p p ~ a p a' p , p p p' pJhX — a' p a p +i , P'p+iPp+i = a p+1 d v +i . 

 La seconde partie de l'énoncé est donc établie. 



Il suit de là que les intervalles séparés par la subdivision 



! I 



di , ai , , ... , a n , «n+i 



