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vont constamment en décroissant, si le premier stirpasse le secondi. Car alors, 

 le second doit surpasser le troisième (pour surpasser l'un au nioins du pre- 

 mier et du troisième), qui doit surpasser le quatrième, et ainsi de suite. 



Dans le cas le plus general, la suite d' intervalles considérés peut com- 

 prenda un terme maximum, ou denx termes maxìmums adjacents, et les 

 autres termos décroissent quand on s'éloigne de part et d'autre de ce ou 

 de ees termes maximums (qui peuvent coincider avec le premier ou avec le 

 dernier intervalle). 



Ces préliminaires étant posés, nous pouvons énoncer les propositions 

 suivantes relatives à un ensemble parfait P présentant le caractère (A): 



I. Quel que soit le nomare X au plus égal à b — a , P contieni deux 

 pomi s doni 1 1 distance est X . 



Soit en elfet a l = a. 



Le segment a^a\ contient et surpasse le segment s[ séparant a' a de u[, 

 lequel contient et surpasse «Ja 2 . Or, par hypothèse ala et b' b ne sont infé- 

 rieurs en longueur à aucun contigu de P . Donc, s[ > u[ (caractère A), et 

 par suite a l a[^> a[a 2 . Donc, tous les intervalles séparés par les suites 

 (a p . a' p ) et (fl' p , p p ) vont en décroissant. 



Je dis que les fi' étrangers à P demeurent tous sur ab. En effet, il 

 en est d'abord ainsi de §[, d'après @[ — a = X<^b — a. D'autre part. 

 si est sur ab, l'extrémité droite §, H du contigli contenant §' H est à 

 gauche de b. Si /S„ est à gauche de i, on a Pn@n> PnP'n+i • Or, 

 P'nfin <C • u„ est séparé de bb' par § n b , au moins égal à u" n (caractère A), 

 d'après ù' n <bb'. Donc. /S w $, +1 <C §nb . Donc, (i„ jH' n +i est à gauche de b. 



Donc. que les suites (« , a') (/? , /?') s'arrètent ou non, elles mettent en 

 évidence un couple (y . ó) situé sur P et tei que ó — y = X. 



Le mème raisonnement permet de montrer: 



P !S . Si u et v soni deux intervalles contigus ou semi-contigus à P, sé- 

 parés par le segment u§ (a et /? appartiennent à P, a < /?), et si u et v sont 

 au moins égaux à chacun des intervalles contigus à P compris entre a et §, 

 il existe, quelque soit le nomhre X t au plus égal à /? — a , deux points de P 

 situés sur le segment ap et doni la distance est égate à X x . 



II (conséquence du précédent). Si u et v soni deux intervalles contigus 

 ou semi-contigus à P, séparés par un segment «/?, il existe, quelque soit le 

 nomhre X 2 , au plus égul à u et à v séparément, deux points de P situés sur ap 

 et doni la distance est égale à X t . 



Soit par exemple u à gauche de v, avec u <_ v (en longueur) et soit v L 

 le contigu le plus voisin de u à sa droite, et dont la longueur vaut au 

 moins u . v t coincide avec v ou est compris entre u et v. Le segment ap x 

 séparant u de v, vaut au moins u (caractère A), d'après u < v. Il suffit 

 d'appliquer à ap x la proposition l bi *. 



III. Si V intervalle u est contigu à P et si, sur un segment adjacent à u 



