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et de longueur l, P ne possède pas de contigli ni de semi-contigu dont la 

 longueur surpasse u, il existe alors, quelqne soit X 3 vérifiant u < X t <^l-\-u , 

 deux points de P situés de pari et <r nutre de u, et dont la distancc est 

 égale à X 3 . 



Soient § et a (/? <^ a) les extrémités de u. Posons a = u ì , p[ = a — X 3 

 (u<^X 3 ), et soit /?, l'extrémité droite du contigu contenant §[, si p\ est 

 étranger à P. Cornine dans l'étude préliminaire, les deui subdivisions 

 (a p , a'p) , (p p , ftp) progresseront vers la droite, mais cette fois, la seconde 

 sera à la gauche de la première (et non pas à sa droite). 



La démonstration se compose encore de deux paities, 1°) on a aa[^> a[a 2 , 

 si a\ n'est pas sur P ; 2°) §' v et fi p restent à gauche de /? , queique soit p. 



Eri effet: 1°) D'après X 3 <. u -j- / , le semi-contigu f![{Si est par hypothèse 

 au plus égal à u. Donc, d'après $[ <^ aa[ = , on a s[<^u. Donc (ca- 

 ractère A) s( > u[. De a[a z <^u[ resulto aa\^>a[ai. 



Donc, les intervalles des subdivisious (a v , a' p ), (p' p @ p ) vont décroissant 

 en longueur, tant qu'un a p ou un §' p n'est pas sur P. 



2°) L'inégalité P' H <Ci^ ss démontre de proche en proche. D'abord, 

 fi[<Cft ìésulte de a — (}[ = X 3 v, = a — § . Si maintenant p' n < /?, on ac 

 en évidence, fi' n fi n < ^ . puis u n <-u, par hypothèse, d'où /S„/S > «" (ca- 

 ìactère A), et e n fin §',J u <i ■ Or, nous avons établi (1°) #j/S!» > p n pn+i ■ 

 Donc finfi'n+\ <^ finfi . Donc est à gauclie de La proposition III 



résulte de là. 



IV (conséquence du précédent). Si u est un intervalle contigli à P, il 

 existe, quoque soii X 4 vérifiant u<^X 4 <.'òu, deux points de P situés depuri 

 et iV nutre de u et doni In distarne est X 4 . 



Car, si u est l' intervalle /?a, et si «, = $ — 2^,- le segment a % fi ne 

 peut pas contenir, en vertu du caractère (A), d' intervalle contigli ou semi- 

 contigu dont la longueur surpasse u. La proposition III s' applique donc. 



Matematica. — Spasi che ammettono una traslazione infini- 

 tesima lungo le linee di lunghezza nulla. Nota di 0. Onicescu, 

 presentata dal Socio T. Levi-Civita. 



1. In una Nota precedente abbiamo definito come traslazione infinite- 

 sima un movimento elementare di uno spazio (di natura metrica qualsiasi) 

 che sposta le direzioni con parallelismo di Levi-Civita, lungo una congruenza 

 di trajettorie. 



Crediamo opportuno di riprendere, sotto una forma più semplice, i cal- 

 coli di quella Nota, avendo in vista di considerare anche il caso nel quale 

 le trajettorie sono linee di lunghezza nulla dello spazio. 



