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2. Sia 



n 



( 1 ) ds* = 2_ l7l "i* C?a?i <foft 



) 



l'elemento lineare di una varietà — la forma quadràtica essendo qualsiasi — 



che ammette un gruppo oo 1 di movimenti. Sia X/" = la forma canonica 



della corrispondente trasformazione infinitesima, supponendo di aver preso per 

 linee coordinate x n le trajettorie del movimento. 



Le condizioni perchè lo spazio (1) ammetta un tale movimento, sono 

 espresse dalle equazioni di Killing che, come è noto, si riducono in questo 

 caso alla forma 



(2) ^ = (,\A = 1 n). 



I parametri (sistema controvariante) di una direzione generica la 

 quale si trasporti lungo una trajettoria subiscono (trattandosi di un movi- 

 mento rigido) incrementi nulli: 



= . 



Lo spostamento per parallelismo richiede invece (*) gli incrementi 



^«) = _ f j nl ì 5 «) ÓXn (2 = 1,2,..., n) . 



Nell'ipotesi che si tratti di traslazione elementare, i due spostamenti 

 devono coincidere, cioè gli incrementi devono essere nulli al pari 



degli dÌ H) . Se ne trae 



(3) È{^ a) = (i = l, 2, ...,»). 



Queste equazioni (sempre in virtù dell'ipotesi che il' movimento abbia 

 carattere traslatorio) devono sussistere qualunque sia la direzione che si 

 trasporta (e lungo qualsiasi trajettoria, il che implica in qualsiasi punto del 

 campo che si consideri). Risulta allora 



(4) M-l,. 2,. ..,*). 



Una prima conseguenza relativa al carattere della congruenza [_n\ co- 

 stituita dalle trajettorie si ricava subito ricordando le equazioni differenziali 



(*) T. Levi-Civita, Memoria sul parallelismo, pag 7. 

 Rendiconti. 1920, Voi. XXIX, 2" Sem. 



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