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delle geodetiche 



d*Xi + f ih \ 3 . \ dxjdx h = (« = 1 , 2 , ... , n). 



Lungo ogni traiettoria si ha 



dxi = (i<Cn) , d* x n = , 



con che le equazioni precedenti rimangono verificate in virtù delle (4). La 

 congruenza [n] è dunque geodetica. 



Dalle equazioni (4) discende ovviamente 



Vi n~] 



: (i , l = 1 , 2 , ... , n) 



ciò che equivale al sistema 



. ~òai„ ~òai n . . 



i = — - (e , Z == 1 , 2 , .... , n) , 



Per l = n , ricordando le (2), risulta, in particolare, 



^ = (,- = !, 2, ...,n); 



dunque a n „ = £ ■ a 2 = A (f = ±1). 



Il sistema (A) mostra che la forma differenziale lineare 



e - a 2 dx n + 2a nri _! afo„_i -| + 2a nl dxi = du 



è un differenziale esatto. 



Possiamo valerci di questa circostanza per semplificare la forma (1) 

 dell'elemento lineare, che scriveremo intanto 



ds 2 = dx n ■ du -\- ^_ ih am dxt dx k . 

 i 



La trattazione fino a questo punto vale per ogni congruenza [ti]. Adesso 

 dobbiamo distinguere due casi : 



1°. La congruenza è formata da linee ordinarie (ds 1 4= lungo 

 tali linee, il che implica a ={= 0). 



Badando alla (6), possiamo scrivere 



/ £ n-l \ 2 



ds 2 — si adx n + — ^_i a in dxij -f- do 2 

 dv 2 essendo una forma quadratica nelle n — 1 variabili x{, ... , £„-i . 



