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Se prendiamo allora come nuova variabile x n l'espressione 



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u , 



t • a 



l'eleuieDte lineare prende la forma canonica geodetica, già studiata nella 

 Nota precedente, 



(a) ds* = edxl + do* (« = ±1). 



2°. La congruenza [_n~] è formata da linee di lunghezza nulla. In 

 questo caso, dovendo avere ds 2 = lungo una linea n , risulta 



a„ n = t . a 2 — . 



Conviene allora prendere la funzione u precedentemente introdotta, per 

 mezzo del suo differenziale, come una nuova variabile. Posto x n = ?/», fac- 

 ciamo una trasformazione delle altre n — 1 variabili, assumendo, al posto 

 delle x x , x% , .. .,#„_! , n — 1 loro combinazioni indipendenti arbitrarie 

 ìjn-i , fra le quali figuri u. Porremo, per esempio, y n -i = u. 



L'elemento lineare si riduce allora alla forma canonica 



(b) ds 2 — dy„ ■ dy n -\ + da 2 , 



dove do 2 è una forma quadratica nelle n — 1 variabili //, , y 2 , ••• , y n -\ ■ 



3. Dalla espressione (a), trovata per l'elemento lineare, risulta notoria- 

 mente che le ipersuperficie x n = A sono geodetiche, cioè contengono intera- 

 mente la geodetica della varietà passante per due loro punti qualsivogliano. 



Tenendo presente questo risultato, si può ancora dimostrare cbe una 

 qualsiasi geodetica g, di una superficie x n — A., genera per traslazione 

 una superficie di curvatura gaussiana nulla. 



Basta pensare che tale superficie contiene due famiglie di geodetiche 

 ortogonali: una di queste è costituita dalle successive posizioni della g, 

 e l'altra dalle traiettorie. 



Nel caso delle linee di lunghezza nulla, dalla espressione (b) dell'ele- 

 mento lineare risulta ovviamente che le ipersuperficie y„ = A non sono, in 

 generale, geodetiche; sono invece geodetiche le varietà y n = c l , y„-i — c' . 

 La conclusione precedente vale allora per le superficie generate dalle 

 geodetiche di queste varietà. 



