— 314 — 



Questa interpretazione è stata additata, ed anche usata per fini parti- 

 colari da diversi autori ( 1 ) ; ma non sembra che finora si sia cercato di 

 valersene come mezzo diretto per affrontare i problemi più generali della 

 teoria, ed impostarvi una trattazione sistematica che procedesse indipenden- 

 temente dagli indirizzi classici. 



Mi è sembrato che qualora un metodo d' indagine inspirato alla predetta 

 interpretazione mostrasse di rispondere agilmente allo scopo, la teoria ne 

 acquisterebbe in qualche punto semplicità e chiarezza, e forse potrebbe gua- 

 dagnare qualche nuovo contributo. Ed effettivamente, come mi propongo di 

 mostrare in questo saggio ed in altri successivi, estratti da una ricerca di 

 maggior mole a cui sto attendendo, l'uso di alcune semplici idee direttive, 

 sussidiate da elementari considerazioni di geometria iperspaziale, consente 

 di dar veste nuova ad alcuni risultati classici, conducendo agevolmente nel 

 cuore della teoria, e rivelando la sua potenzialità ad adattarsi anche a fini 

 più ardui. 



Chiedo mi sia consentito di omettere per brevità qualche calcolo ma- 

 teriale e qualche procedimento di inessenziale importanza. 



1. Sia 



(1) f{ Xl x t ) = £ = £ ( n ) ^ xr* 4 = x\ f(0!) ,(x=*^\, 



i=o \ * / \ a?2 / 



una forma binaria d'ordine n . Interpretando le x x , x 2 come coordinate omo- 

 genee di punto d'una retta r, la f—0 rappresenta un gruppo G„ di n 

 punti ; se invece si considerano i coefficienti a , «, , ... , a n come coordinate 

 omogenee di punto in un S n , ad ogni forma f rimane associato un punto F, 

 che si può considerare come imagine di F o del G n relativo. 



In particolare ai gruppi G„ costituiti dai punti x — X di r contati 

 ciascuno n volte, corrispondono in S„ i punti d'una C" razionale normale, 

 le cui equazioni parametri che sono 



(2) qcti = (— 1)' X* , oppure a cu = (— l) 1 ' x\ xf* , (* = , 1 , ... , n) . 



Nel seguito avremo bisogno di fissare su r, e quindi su C", un punto spe- 

 ciale; sceglieremo il punto improprio l(x = co ; x x == 1 , x s — 0) di r. il 

 cui omologo su C"(r/ = «, = ... = a n _ x =0 , o n = 1) verrà indicato con U. 



2. Se si trasforma f mediante una sostituzione lineare 



(3) X[ =a «11*1 -\-a ìt Xt , X\ = «21 Xi + 2 ìX t , 



(cioè, seguendo l'uso classico, se nella f al posto delle variabili si pongono 



( 1 ) Cfr. Lie (Scheffers), Vorlesungen ùòer continuerliche Oruppen [Leipzig, Teubner, 

 1893], Cap. 23. Vedi anche la Memoria citata di Fano e il lavoro di Brusotti, Sulla 

 curva razionale normale dello spazio a quattro dimensioni [Annali di Mat. (3), IX (1904), 

 pp. 311-352]. 



