ne contient pas de contigli ni de semi contigu supe'rieur à u. D'ailleurs 

 u<C.l <C^ a \ • Donc il existe (proposition III) deux points y , ó de P, conte- 

 nant entre eux u et dont la distance est l. y est à gauche de a, donc 

 de M. Donc 8 est à gauche de Bj . milieu de MB. § est à droite de ai, 

 donc de A, . Donc y est à droite de A . Donc y et ó appartiennent au 

 segment AB. 



Le théorème V est démontré dans tous les cas. 



Donnons un exemple general d'ensemble parlait P auquel s'appliquent 

 les considérations précédentes. 



Supposons que P satisfasse à cette conditiou. que si M et M' sont deux 

 quelconques de ses points, il existe sur P, d'un coté ou de l'autre de M, 

 un point M", tei que dist. MM" < dist. MM' < 2 dist. MM". [Le coeffi- 

 cient 2 pourrait étre remplacé par la racine réelle (et positive) de l'équa- 

 tion t 3 — t* - t — 3 = 0]. 



Je dis que P possedè le caractère (A). 



Sinon, il existerait deux intervalles contigus, « ou ^a, y ou fibi, tels 

 que afi fùt inférieur à u et à v . Supposons par exemple 0<Cfi — a <^u <. v . 

 On montre immédiatement, en placant M' en a Y ou en , et M sur le 

 segment afi , que le segment ayaut méme milieu que afi , et égal à son tiers, 

 est (entièrement) intérieur à un contigu a 2 b 2 de P. Mais alors, il est visible 

 que, si l'on place M en a et M' en b Sl M" n' existe pas. 



Les méthodes employées dans ma précédente note permettent de démon- 

 trer le théorème suivant: 



Supposons que: 1°) P et P' sont deux ensembles parfaits presentimi le 

 caractère (A) ; 2°) u et v sont deux intervalles contigus ou semi- contigus à P , 

 séparés par le segment cefi, et non surpassés en longueur par aucun des con- 

 tigus à P situés sur a fi; 3°) u', v' : , afi' ont des définitions et des propriétés 

 analogues .rélqtives à P'; 4°) au cas oh fi' — a fi — a et si par exemple 

 fi' — a 1 "^> fi — a, Vun (le plus grand, s'ils sont inégaux) des deux inter- 

 valles u et v' est au moins égal à tout contigu de P situé sur afi; 



sous ces conditions suffisantes, si x et y désignent respectivement les 

 abscisses d'un point quelconque de P situé sur afi, et d'un point quelconque 

 de P' situé sur afi', V ensemble des nombres y — x forme un segment contimi. 



Application. — Supposons que: 1°) P présente le caractère (A); 

 2°) si u et v sont deux contigus ou semi-contigus de P séparé* pur afi et 

 tels que tous les contigus compris entre u et v sont au plus éganx, d'une pari 



à v, d'autre pari à 



u , si | p I <. | q 



l 



sous ces conditions suffisantes, x et y désignunt les abscisses de deux 

 points quelconques de P situés sur afi, et p et q deux nombres indépendants 

 de x et de y , V ensemble des nombres px -f- qy est un segment conlinu. 



