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e operare con essa sulla f; i coefficienti della f trasformata, che, a meno 

 d'un comune fattore posson ridursi alle espressioni 



(7) (,-0,1, ...,»), 



dànno allora le forme lineari cercate, conducendo così al teorema di Bruno ( x ): 

 L' espressione d'un covariante <P (nella variabile non omogenea x) si deduce 

 da quella del suo termine principale (f sostituendo in questa al posto 

 delle ai le forme lineari (7), 



La portata notevole di questo teorema nello studio delle relazioni tra 

 forme invariantive, verrà messa in luce in una successiva Nota. 



6. Diremo rango d'un covariante (od invariante) il numero delle 

 intersezioni variabili di J P con una retta generica uscente da P, cioè il 

 grado del relativo termine principale g> rispetto al coefficiente a» di /. 



È ovvio che se r è il rango di <2> , il punto P è (n — r)-plo per J P ; 

 sicché, se r = , 4 P sarà un cono. Diremo in tal caso che <T> è un cova- 

 riante conico. Il covariante conico più semplice è evidentemente la forma 

 stessa, e i coni relativi sono gl'iperpiani osculatori a C n . 



Se $ è un covariante conico, e si proietta la G n da P su di un S„_i , 

 le generatrici del cono J P segano ivi una ipersuperficie che indicheremo 

 con 4' P r, P' essendo la proiezione di P sulla C n_1 proiezione di O; ed è 

 facile vedere che J' P i è invariante per le proiettività di C**" 1 in sè che 

 lascian fisso P'. Invero queste si ottengono per sezione, dal gruppo oo 2 su- 

 bordinato entro la stella di centro P dalle proiettività di r che lascian 

 fìsso P. 



Sicché J' P ' individuerà un covariante (od invariante) <t>' per le forme 

 d'ordine n — 1 ; e viceversa, dato un tal covariante, se ne deduce un cova- 

 riante conico 4> delle forme d'ordine n . invertendo l'operazione predetta. 



Il covariante d> si dirà proiezione di <P' ; se l , m sono rispettivamente 

 il grado e l'ordiue di <£' , una semplice analisi numerativa prova che i ca- 

 ratteri analoghi di <D sono l ,1 -\- m . 



Se anche <t>' e le sue successive proiezioni <P" , <P"' , ... , ^> (/1 ^ n sono co- 

 varianti conici, ma non lo è <2> (ft) il covariante <2> si dirà h-conico; 

 le J P relative son coni aventi per vertice lo S ft _! osculatore a C" in P. 



Così ad esempio proiettando dagli S (l _ 2i+1 osculatori a C" le quadriche 

 di Clifford (invarianti quadratici) delle C 2i proiezioni (2i <. n — 1), si hanno 

 tutti i covarianti quadratici della forma f . In particolare, se i ' = 1 , si 



( 1 ) Faà di Bruno, Sur un théorème général dans la théorie des covariants [C. E. 

 de l'Ac. des Se. de Paris, XC (1880), pp. 1203-1205]. Per citazioni più dettagliate vedi 

 il rapporto di F. Meyer, Sullo stato presente della teoria degl'invarianti (trad. italiana 

 di G. Vivanti) [Giornale di Mai, 1893-98], voi. XXXIV (1896), pag. 339, 



