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Ponendo: £ = §(x) , rj = rj(y), la (I) si trasforma in un'equazione dello 

 stesso tipo (*): 



ove: 



dy _ _ dx 2 dx _ (/a; 3 dz 2 da; 



\dx / \dx) \dxf 



s = —^7T ; t 



\dxj \dx) 



Noi consideriamo un campo C, il cui contorno c, tutto al finito, abbia 

 generalmente tangente; sia incontrato in un numero finito di punti dalle 

 parallele agli assi x ed y; sia percorso in un determinato verso (verso -f- 

 delle tangenti). Il verso -j- delle normali sia quello che coinciderebbe 

 con -\- y , se le corrispondenti tangenti -f- coincidessero con -\-x. Il 

 campo trasformato C sia dello stesso tipo. Allora, se £(£,17) è tale che: 



h) s , ^| sowo finite e continue in C ; 



k) , ~ sono integrabili in C ; e di più si ha : 



( x ) Nel modo più generale : (1) £ = £(x,y) , n = , con: (2) — 4= ., — 4= , 

 muta la (I) in un'equazione dello stesso tipo. Poniamo: f = £(x) per semplificare. Se 

 la (1) rendesse uguali od opposti i coefficienti di — e — nella equazione trasformata, 



di' o*] 



e vi annullasse il termine — , il teorema di unicità si ricaverebbe facilmente ponendo: 



z(£ t rj) = e l Z(| ,rj), ove ei è la base dei logaritmi naturali, e h una costante da fis- 

 sarsi convenientemente. P^rò dall'esame dei coefficienti dell'equazione trasformata e 

 della (2) risulta che la prima semplificazione è possibile solo quando il coefficiente e(x,y) 

 è a segno costante in C ed inoltre è, per esempio, integrabile in x. L'altra semplifica- 

 zione non è in generale possibile quando lo è la l a , ma da sola è sempre fattibile, purché 

 il coefficiente a(x,y) soddisfi a condizioni di integrabilità. Non faremo però tale ridu- 

 zione, che parrebbe semplificativa, perchè essa richiederebbe ? funzione di x e y, com- 

 plicando così il nostro procedimento. 



