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con l'integrazioni per parti si ricava: 



d> - - ix »* * - i re i *■ * * ; •••• 



e analoghe relazioni per j'J' qg ^£ > jTJ* ^ quando jt>, 5-, r 



rispondono a talune condizioni, certo soddisfatte per le ipotesi che faremo 

 sui coefficienti di (I). Ciò posto, supponiamo che : a) i contorni e e c' di C 

 e C abbiano un punto di ordinata massima e uno di ordinata minima, 

 dai quali sieno divisi in due archi s a , Si ; s' , s[: su s , s' sia dy dr\ ne- 

 gativo ; su Si , s[ dy drj positivo, percorrendo c e c' nel verso prefissato ; 

 e consideriamo dite soluzioni g x ,g t della (I,) in C\ che assumono su c' 



gli stessi valori dati ad arbitrio, e tali che le loro — assumono su s' 

 s[ gli stessi valori dati ad arbitrio. 



Supponiamo che i valori per le — sieno dati su só ; l'altro caso si ri- 



duce a questo facilmente. 



La funzione v = g 1 — g 2 è in C soluzione della (I]) senza termine 



noto ; si annulla su c' e ha nulla su s' la, -~ . Per tale comportamento 

 dalle (3) ricaviamo : 



II 1° termine a 2° membro della (4) è non positivo. Il 2° termine 



d^ì di; 



sarà tale se: in G , q > ; cioè se : in C , 3 — — -(- a -7- > . Questo si 



d 2 £ di; 



verifica quando £ è soluzione di: 3 — 2 + m ~J~ = ove m è il minimo 

 in C di a{x,y), supposta finita e continua, e F(x) è una funzione positiva 

 in C, integrabile ... : (a) £ =jj [~| Jf(;») e,**" da; + H J | rf» + K ( x ) ; 



d£ 



e quando inoltre è: — >0, il che si soddisfa prendendo positiva la co- 

 stante H e per limite inferiore dell'/ tra [ ] la minima x dei punti di C. 



( 1 ) ei è la base dei logaritmi naturali. 



