Nel 3° integrando a 2° membro di (4) i primi due termini e l'ultimo 

 tra ( ) sono funzioni note di x e y, come risulta dal calcolo delle loro 

 espressioni. Pertanto l'integrimelo, e quindi l'integrale relativo, è non po- 



' ~ò I dìi I 



sitivo, se in C è: xp(x ,y) — — I e ~ <0, ove è nota; cioè se: 



~ìr] (_ ay_\ 



Il procedimento seguito è legittimo se e(x ,y) , a(x ,y) , d(x,y) , f(x,y) 



e . n ■ ■ ìe ~òa 1*a l>d 



sono finite e continue in C insieme con: — ; — , — -; — . Supponiamo 

 ' ~òy ~òx ~òx 2 ìx A 



inoltre ehe la e(x,y) sia a segno costante in G. xp(x,y) risulta finita in C. 



Se e(x,y) è positiva in G, ne consegue: e(x ,y)^~ m 2 ^> 0. Siccome 



poi: in C, — ty^> — M 2 , abbiamo che -rj soddisfa alla (5), se risolve: 



m 2 -~ — M 8 -r i = N 2 , e ha positivi -r,-rr- Ciò si verifica facendo: 



dy 2 dy dy dy 2 



N 8 Hi m 2 ~~ y 

 (i?) V — — jyjT V H~ jyp e T 6 prendendo la costante H^O e 



abbastanza grande. 



Analogamente se e(x,y) è negativa in G si può soddisfare la (5), ren- 

 dendo così <.0 il 3° integrando a 2° membro di (4). 



Adunque possiamo avere rispettivamente non negativo, non negativo, 

 non positivo i tre integrandi a 2° membro di (4); e i due ultimi tali in 

 tutto C. Allora i tre integrali rispettivi dovrauno annullarsi separatamente; 

 siccome poi il 3° integrando è continuo in 0', dovrà essere: in C, y = 0, 

 cioè: Si=Sz\ e quindi in G coincideranno le corrispondenti soluzioni 

 della (I). 



Osserviamo che, siccome le funzioni («) , (fi) sono a derivata di segno 

 costante, se C e c sono del tipo indicato, tali saranno C e e ; e per la 

 natura di (a) e i coefficienti e le soluzioni di (li) godranno le proprietà 



di continuità dei corrispondenti coefficienti e soluzioni di (I). Possiamo 



pertanto enunciare il seguente teorema di unicità: 



Se il campo G è limitalo da una curva c, che si trovi tutta al finito, 

 abbia generalmente tangente, sia incontrata in un numero finito di punti 

 dalle parallele agli assi x e y, e soddisfi alla condizione a), non possono 

 esistere in esso due distinte soluzioni dell'equazione (I), le quali soddisfino 

 alle condizioni h),k), assumano sul contorno c gli stessi valori arbitra- 

 riamente assegnati, e sieno tali che le loro derivate prime in x assumano 

 su s o s, gli stessi valori pure arbitrariamente assegnati, se i coefficienti 

 della (I), e{x,y) , a(x,y) , d(x,y) , f(x,y) sono finite e continue in G in- 

 sieme con le derivate rispettive: — ; — , -— ;~; e di più e(x,y) è a 



~òy ~i)X ~òX oX 



segno costante in G. 



