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Analisi matematica. — Les rapports des ensembles parfaits 

 présentant le caractère (A) et des fomtions admettant une dérivée 

 seconde généralisée. Nota di Arnaud Denjoy, presentata dal Socio 

 Vito Volterra. 



Je renvoie à mes précédentes Notes ( 1 ) pour la définition et l'étude du 

 caractère (A). 



Soit F(fl) une fonction continue. Posons, u étant un nombre non nul, 



F(fl + tt) + F(fl-a)-2F(fl) Q(6,u)-Q(d,-u) . 

 = = &{0 , u) . 



u u 



On dit que F adraet au point une dérivée seconde généralisée égale 

 à f{6), si R(6 ,u) tend vers f{6) quand u tend vers 0,0 étant indépendant 

 de u . Nous nous proposons de démontrer le the'orème suivant. 



VI. Si l'ensemble parfait P présente le caractère (A), et si, quels que soient 

 sur P et \u\ positi f et borite indépendamment de 6 , |R(0 , u)\ demeure borné: 

 1°) F(0) possedè une dérivée <t>(0) en font point de P ; 

 2°) <P(0) est continue sur P et les nombres dérivés de <P(0) spéciaux 

 à P sont bornés; 



3°) Si, en outre, F(0) admet la dérivée seconde généralisée f(0), <P(0) 

 admet f(0) pour dérivée spéciale à P , tout au moins en un ensemble de va- 

 leurs de partout dense sur P . 



Supposons \R(0 , u) \ <^a , quels que soient: 1°) sur P; 2°) \u\ positif 

 et par exemple inférieur à 2 . 



Soient quatre nombres x x , x[ ; x , x' vérifiant la relation OC oc — 

 = 2{x[ — Xt) > . On a 2x[ — x' — 2x x — x — £. Le point £ est simul- 

 tanément le symétrique de x par rapport à Xi et celili de x par rapport 

 à x[. Supposons que x x et x[ soient sur P. Désignons par 2k la distance 

 (positive) de x x et de x[ , et par l les différences égales w x — £ et co — w x , si 

 co et a), sont les milieu* respectifs des intervalles (x , x') et (x x , x\). On a 



#i=£-j-Z — k , x[ = %-{- k, 



x =£ + 21 — 2k , a;' =£ + 2/ + 2&. 



(*) V. questi Eendiconti, pagine 291 e 316. 



