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Soit maintenant h un nombre quelconque non nul, inférieur à 1 en 

 valeur absolue. On a: 



= Oi Vfij l — _j_ ... • 



2 2 2 ~ 2 n ~ 



les a non nuls étant tous de mème signe et égaux à 1 en valeur absolue. 

 Posons 



2« • 2 W+ 



Calculons F (6 + A„ +1 ) — F (0 -f- A„) . 



Si a„ = , cette différence est nulle. 



Si \a n \ = 1 , on petit, d'après |A„ — 72 n+1 | = — = 2(0; — tì n ), appli- 



quer la formule (1). Xx et .x[ sont remplacés respectivement par 0„ et par 0' n , 

 x et x' par -|- et -\- h n (ou 1" inverse selon que h est positif ou 



négatif). On a fc = \(d' ll — 0J=. — -. |/| est la distance du milieu de 



LI di 



(O n , d' u ) au milieu de (0 -j- A„, intervalle égal en longueur à — 



et dont l'extrémité -f~ A'n-w es ^ distante de de — au plus. Donc cette 



9 X ^2 4i 



fois encore \l\ est au plus égal à - — - et — — < - — - Donc, 



F(g + ^n)-F(e + /^) FK)-F(tf w ) , ^ 41 ^ivriÌB* 



et dans tous les cas (a n = ou a n ==riz 1) 



¥[B + A.) - F(0 + Vi) = g * (0) + ^ . 



D'où, en ajoutant de n — 1 à w infini, et en vertu de la continuité 

 de F(0). 



(4) F(0 + AÌ — F(0) = h4>(d) + ^ óeh* 



relation qui démontre que <P(0) est la dérivée de F au point (première 

 partie de l'énoncé). 



Si -f- h est sur P , nous pouvons ci-dessus remplacer le point par 

 le point -{- h , et l'accroissement h par — h . On trouve alors 



(D(0 + A)-<P(0) 



ce qui démontre la seconde partie. 



