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È da rimarcare subito il fatto notevole che, mentre la circuitazione 

 lungo linee chiuse è un numero, la circuitazione superficiale si presenta come 

 un vettore. Questa differenza permette del resto di indagare più profonda- 

 mente la natura dell'ordinaria circuitazione. 



Nella Nota II infatti, dando l'espressione vettoriale della circuitazione 

 superficiale, faremo vedere che, considerato il numero che rappresenta la or- 

 dinaria circuitazione come il modulo di un vettore, tuie vettore è precisamente 

 quello al quale si riduce il vettore della circuitazione superficiale, quando la 

 superficie che si considera fende a schiacciarsi sa un piano. Nella stessa Nota 

 dimostreremo per la circuitazione superficiale teoremi tutt'affatto analoghi 

 a quelli ben noti riguardanti la circuitazione lungo linee chiuse. 



Infine nella Nota III faremo vedere come col nuovo concetto di circuita- 

 zione superficiale possa agevolmente estendersi al caso spaziale il teorema 

 della forza sostentatrice. 



1. Sia data una qualunque superficie chiusa a esposta ad una corrente 

 fluida: su questa non vogliamo per ora fare alcuna ipotesi. In ogni punto 

 della superficie sia definito il vettore V della velocità. Supporremo, inoltre, 

 per semplicità, che l'origine degli assi cartesiani ortogonali sia nell'interno 

 della superficie. 



Immaginando allora di sezionare la superficie data, mediante piani pa- 

 ralleli al piano xy , e vicini quanto si vuole l'uno all'altro, consideriamo 

 per ogni punto della superficie la componente tangenziale (*) della proie- 

 zione della velocità su quello dei piani paralleli al pi ano UjIi che passa per 

 il punto, e sia Vf y . Diremo allora circuitazione delle 'velocità lungo la super- 

 ficie chiusa a, secondo la direzione dell'asse delle 2, V'integrale doppio 



(1) C^= f Vf y senyda 



essendo y V angolo che la normale interna alla superficie <s forma con Tasse s . 



Possiamo trovare subito una espressione più significativa della (1). 



La velocità V in un punto P della superficie abbia per componenti 

 u , v , w ; siano a , /S , y gli angoli che la normale interna in P fa con gli 

 assi; e ti — a', ti — §' , / = 90° gli angoli che con gli assi forma la pro- 

 iezione della normale interna sul piano parallelo al piano xy passante per P. 

 Proiettando V su tale piano, in N xy , ed osservando che le componenti di 

 sono ancora u e v, si ottiene 



(2) Vf y = u sen «' — v cos «' ; 



( J ) Il senso dato alla taagente essendo contrario a quello della rotazione degli vm 

 dici di un orologio volto verso il senso positivo dell'asse z- 



