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dalle relazioni 



sen 2 y = cos* « -f- cos 2 



sen y = — cos a cos a — cos sen a' 



esistenti fra gli angoli «,/9,y;a\ si ricava 



, cosa , cos/i 



(3) cos a' — , sen a = — . 



v sen y sen y 



La (1) perciò — a meno del segno che del resto può variare a seconda 

 del senso col quale si intende calcolato l'integrale doppio — può scriversi 



(4) = I J u cos /? — v cos ce | d(f . 



Analogamente, immaginando di operare sezioni della superfìcie con piani 

 vicini quanto si vuole l'uno all'altro e paralleli ai piani zx ed yg, e ripe- 

 tendo il ragionamento fatto, si ottengono le espressioni 



(5) C zx = ) w cos a — u cos y ( do 



(§) O = ( ; v cos y — w cos ( da 



che sono rispettivamente le circuitazioni delle velocità lungo la superficie <t 

 secondo le direzioni degli tessi y e g, nel senso positivo che abbiamo già fissato. 



Ponendo l'equazione della superfìcie sotto la forma s = s{xy), mediante 

 forinole note, e chiamando p e q le derivate di g, la (4) può anche scriversi 



(7) G xy = jj \uq—vp\dxdy , 



ed analoga forma possono evidentemente prendere anche le (5) , (6). 



2. Mostriamo ora che la circuitazione lungo una superficie chiusa secondo 

 una qualsiasi direzione, si può esprimere linearmente mediante C xy , G zcr , O*. 



Sia C una retta uscente dall'origine e che faccia con gli assi gli an- 

 goli a ,b ,c; sezioniamo la superfìcie mediante piani perpendicolari a f. 



Siano inoltre a , /? , y ; a," , ^ , y, rispettivamente gli angoli con gli assi 

 della normale interna in un punto P , e della tangente in P alla linea se- 

 zione della superficie con il piano passante per P e perpendicolare a f. 



Si hanno le relazioni 



cos a, cos a -j- cos /Sj cos /? + cos Yi cos y = 

 cos «! cos a -j- cos ^ cos b -\- cos y, cos c = 



dalle quali si ricavano subito — a meno di un fattore q — i valori di 

 cos a, , COS /?! , COS Yi ■ 



