— 357 — 



senz'altro dalla precedente definizione che vi sono oo 2 quadriche in posi- 

 zione y rispetto a una data C 3 sghemba, e oo 5 C 3 sghembe in posizione y 

 rispetto a una data quadrica; che la relazione definita è autoduale; e che, 

 infine, tutte le figure costituite da una C 3 e da una quadrica in posizione y 

 sono tra loro proiettive. 



In base a quest'ultima osservazione, potremo dedurre alcune proprietà 

 che ci serviranno nel seguito, ragionando sulla C 3 sghemba che, rispetto a 

 un tetraedro di riferimento M, M 2 M 3 M 4 , ha per equazioni parametriche 



(1) X\ : x 2 • x 3 : x 4 = t 3 : t 2 :t : 1 , 



e assumendo come assi della involuzione sopra considerata le due tangenti 

 Mj M 2 , M 4 M 3 , cosicché la relativa quadrica Q ha per equazione (*) 



(2) X\X 4 — £3 ~~ . 



Su queste equazioni riesce ovvia la verifica del fatto, noto, che una C 3 

 e una quadrica in posizione y si osculano in due punti; e precisamente, in 

 ciascuno dei due punti distinti che esse hanno in comune, la quadrica con- 

 tiene (come generatrici di uno stesso sistema) le tangenti in essi alla cubica, 

 e tocca i corrispondenti piani osculatori. Questa proprietà, che segue anche 

 in modo immediato dalla primitiva definizione geometrica, non è tuttavia 

 caratteristica. 



Ancora, gioverà tener presente per il seguitò, ciò che si verifica senza 

 difficoltà sulla rappresentazione analitica, che, date una C 3 sghemba e una Q 

 in posizione y, se r e s sono rispettivamente una corda e un asse (interse- 

 zione di due piani esculatori) della C 3 , mutuamente polari rispetto a Q, 

 i punti di appoggio (di r) e di osculazione (di s), essendo tutti distinti, 

 dette A! , A 2 e A 3 , A 4 rispettivamente le intersezioni di Q con r e con s, 

 i due punti di osculazione della C 3 e della Q cadouo su due lati opposti 

 del quadrilatero sghembo AjAsAaA^; e le generatrici della Q che, secondo 

 quanto abbiamo già detto, toccano in essi la C 3 appartengono alla schiera 

 cui non appartengono quei due lati. 



Sebbene ciò non sia necessario per il seguito, vogliamo anche osservare, 

 omettendo la dimostrazione, che alla definizione iniziale di questo numero 

 si può sostituire la seguente: una C 3 sghemba e una Q sono in posizione y, 

 quando sussistano simultaneamente le due seguenti proprietà: 



a) esiste sulla C 3 una involuzione (ordinaria) I, tale che punti di C 3 , 

 e anche piani osculatori di C 3 , coniugati in I sono altresì coniugati 

 rispetto a Q; 



( l ) Per altre espressioni geometriche del legame fra la cubica (1). e la quadrica (2) 

 cfr. F. Meyer, Apolaritàt uni rationale Gurven. (Tiibingen 1883), pag. 120 e segg. 



