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b) la polarità rispetto a Q fa corrispondere alle singole corde 

 della C 3 che sono congiungenti di punti coniugati in I i singoli assi 

 della C 3 che sono intersezioni di piani osculatori coniugati, senza che i 

 punti di osculazione di questi coincidano necessariamente coi punti di 

 appoggio di quelle. 



La condizione a), presa da sola, caratterizza poi le C 3 sghembe e le Q 

 che si osculano in due punti, in modo che fra i loro elementi in questi 

 due punti intercedano quelle particolari relazioni che abbiamo più sopra 

 specificate. 



2. L'esistenza della F 6 , cui abbiamo alluso da principio, si può ora sta- 

 bilire col seguente teorema: Siano H , K , ti , a rispettivamente due punti 

 e due piani distinti coniugati rispetto a una quadrica {non degenere) Q, 

 le due coppie separandosi armonicamente, e le due rette HK e ne essendo 

 mutuamente polari rispetto a Q . Le cubiche sghembe in posizione y rispetto 

 a Q, le quali passano per H,K ed osculano 7t,<f, si ripartiranno in 

 due sistemi co 1 , ricoprenti una medesima superficie del sesto ordine e 

 della sesta classe, di cui esse sono le asintotiche. 



Per dimostrarlo, posto r = HK , e s = na , e denominate k x , A 2 

 e A 3 , A 4 le intersezioni di r e di s con Q , come al numero precedente, 

 applicando una osservazione ivi fatta, rileviamo anzitutto che le eventuali C 3 

 sghembe soddisfacenti alle condizioni enunciate nel precedente teorema devono 

 avere i loro punti di osculazione con Q sulle due rette A 1 A 8 ,A 2 A 4 oppure 

 sulle due rette A!A 4 ,A 2 A 3 (coll'ulteriore particolarità allora osservata). 

 Viceversa, passiamo a stabilire che esistono co 1 C 3 nelle condizioni richieste, 

 i cui punti di osculazione con Q cadono, p. es., l'uno su AiA 3 e l'altro 

 su A 2 A 4 . A tal fine, assumiamo un sistema di coordinate proiett. omog. 

 x x , x t , x 3 , x t , col tetraedro fondamentale Aj A 2 A 3 A 4 , in modo da avere per 

 i punti di Q la rappresentazione paramedica 



Chiamiamo poi S' la schiera di Q cui appartiene A, A : , , S l'altra 

 schiera. Allora, se E,F sono due punti rispettivamente di A^jAs-A^,, 

 aventi per coordinate 1 , , v x ,0 e , v 2 , , 1 , ogni C 3 sghemba che passi 

 per E , F , vi tocchi le generatrici della schiera S uscenti da essi, e vi osculi 

 i piani ivi tangenti alla Q si può rappresentare parametricamente colle 



(3) ViXi — x 2 : v x x x — x 3 : v 2 x t — x 2 : v 2 x x — x 3 = at 3 : bt* : et : d , 



Scrivendo che la C 3 (3) deve contenere i punti H(0 , 1 , , 0) e 

 K( — 6 ,1,0,0) e osculare i piani n(x x -f- i6x 2 — 0) e a{x x — i8x 2 = 0) , 

 si trova 



x x : x 2 : x 3 : x 4 = u : v: uv : 1 . 



(4) 



^ bcv 2 .— advi = ; ^acv i v 2 6 i = b 



\ bc — ad = zir cf/ac {v 2 — v x )B ; 'òadv ì = bcv l . 



b*; 



