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Le (4) costituiscono un sistema di quattro equazioni omogenee di secondo 

 grado in a ,b , c ,d: la condizione affinchè esse coesistano con a , b ,c ,d 

 tutte diverse da zero è, come si trova subito 



(5) Vi = 3 v t . 



Allora, ulteriormente, si ricava 



a: b : c: d = c 3 vtd 2 :'òc ì vl8 2 : c: 1 ; 



cosicché le (3), scrivendo ora t in luogo di c^, divengono 



(6) 3^2*^4 — ^2 • 3^2$! — x$ '. v%x 4 — x% \ v%X\ — x% — ■ 



= v\6 2 t 3 : SvtdU 2 :t:l. 



Orbene, che ciascuna delle oo 1 cubiche (6) sia effettivamente in posi- 

 zione y rispetto alla quadrica Q segue subito dal confronto delle (6) e della 

 equazione di Q fax, — x 3 x 4 = 0) rispettivamente colle (1) e (2) del numero 

 precedente. Le (6) equivalgono ovviamente alle 



= 3vtdH* — l: v\6 2 t 3 — 3v z t: 3t>|0 2 ** — 3y 2 : y|0 2 * 3 — t . 



Abbiamo così costruito un primo sistema oo 1 , 2, di C 3 che soddisfanno 

 alle condizioni richieste. Un analogo sistema, 2' , è formato dalle C 3 ana- 

 loghe a quelle ora trovate, i cui punti di osculazione colla Q stanno, rispet- 

 tivamente, su A 2 A 3 , A, A 4 , nei punti (0 , 1 , u x , 0) e (u ? , , , 1) con 



(8) Ui = 3m 2 • 



Queste ultime G 3 hanno per equazioni parametriche 



= u\t 3 — 38 2 u 2 l: 3ult* — 2 : c óult 2 — 30 2 u t : u\t 3 — d 2 1 . 



Resta infine a dimostrare che le C 3 (7) e (9) ricoprono una medesima 

 superficie di cui sono asintotiche. Ora, per giustificare la prima affermazione, 

 basta osservare che, se nelle (7) e (9) si scrive rispettivamente u e v in 



luogo di -— , quelle cubiche appaiono risp. come curve v = v 2 e u = u 2 



della superficie 



(10) X\ \ x% * x$ \ x 4 -— 



= Bnuv 2 — mu 3 : nv 3 — 3mu 2 v : ?>uv(nv 2 — mu 2 ) : nv* — mu 2 



dove si è scritto — al posto di 6 2 . Quanto alla seconda affermazione, basta 

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B»»H»im. 1920. XXIX, 2° Sem. 47 



