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mostrare che, se 4 , J' sono due C 3 , risp. di 2 , 2', passanti per un punto P, 

 dato dalle (10) per u = u z ,v = v 2 , i piani osculatori in P a quelle due 

 cubiche coincidono. Ora si osservi che P è allineato coi punti [u 2 , 3y 2 ] ( 1 ), 

 [3k 2 , y 2 ] della Q, e si trasformi questa relazione colle polarità nulle definite 

 risp. da J , J' , tenendo presente che, p. es., la prima è il prodotto della 

 polarità rispetto a Q per la involuzione biassiale che ha per assi le rette 

 v = v z y v = 'àv% della schiera S: risulta che quei due piani osculatori con- 

 tengono entrambi la retta dei punti [u t , vf\ , [3w 2 , 3y 2 ] (i quali, per quanto 

 precede, non sono allineati con P) e quindi coincidono. 



Che l'ordine della superficie costruita sia sei risulta dalle (10) che la 

 rappresentano su un piano: se si assumono, su questo, coordinate proiett. 

 omog. u , v , 1 , alle sezioni piane della superficie corrispondono C 4 per i 

 4 punti allineati — costituenti una quaterna armonica — T^l ,0,0) 

 T 2 (0 ,1,0) T 3 , T 4 (\/n , rt \/m , 0) , con un nodo in 0(0 , , 1) , in cui sono 

 tangenti fisse (tripunte) OT 3 ,OT 4 . E, poiché la definizione della F 6 è auto- 

 duale, segue che. anche la classe è sei: del resto le coordinate del piano 

 tangente alla F 6 nel punto (10) si calcolano subito, p. es., servendosi di ana 

 osservazione fatta poco fa, e si trova: 



(11) £i:£*:ì 3 --h = 



— nv 3 -\- 3mu 2 v : 3nuv* -j- mu z : — (nv* -j- mu z ) : — 3uv(nv* -f- mu*) . 



Dalla rappresentazione piana risulta subito che la P 6 possiede due 

 diverse coppie di sistemi coniugati costituiti da cubiche piane razionali: 

 l'uno è rappresentato sul piano dai fasci di rette T 3 e T 4 ; l'altro dai due 

 fasci di coniche per Tj , T 2 , , con le rette OT 3 , oppure OT 4 tangenti in : 

 ogni cubica del primo [secondo] fascio sta in un piano con una (conveniente) 

 cubica del terzo [quarto]. I due sistemi oo' di piani che in tal modo pren- 

 dono origine, inviluppano i coni circoscritti, rispettivamente da H e da K, 

 alla quadrica ^x x x 2 — • 2^3^4 = 0. 



L'eliminazione di u , v dalle (10) porta all'equazione 



(12) — 27(mx\ — nxl) 2 x 1 x 2 + (27 m*x\ + 27»'a£ — 378mn4si)x a x A + 



-f- hl§mnx x x t x\x\ — 1h§mnx\x\ = 



della P 6 . Su di essa è agevole riscontrare l'esistenza delie quattro coniche 

 doppie 



{ \/mx l -±i-\/nx ì = § i fmxi z±z i]/nx t = Ò 

 \ 9x 1 x 2 — Sx 3 x 4 = ' ( Sx 1 x z — 4:X 3 x i = 



concorrenti nei due punti tripli A 3 e A 4 . Sono, ulteriormente, doppi per 



(') Iudichiamo col simbolo [« , »] quel punto della Q, i cui parametri sono «e». 



