Si verifica facilmente che queste equazioni sono soddisfatte da 



(6) f —_JL f —±JL e f ✓ 



conformemente alle (5) del § 2, dove si faccia 



f(u) = cos aw , f(u) = — asina». 



§ 4. Le equazioni (3) del paragrafo precedente potranno formare oggetto 

 di particolare ricerca. Limitiamoci qua a rilevare che l'ipotesi che una so- 

 luzione sia univocamente determinata, coll'assegnare sul contorno del campo 

 considerato, per ogni valore del tempo, i valori delle funzioni f l (P),f 2 (P), 

 collima col noto fatto che una soluzione dell'equazione di d'Alembert [(2) del 

 paragrafo precedente] è univocamente determinata, coll'assegnare, per ogni 

 valore del tempo, sul contorno del campo, i valori della funzione <\>, e, per 

 un valore del tempo, i valori della funzione <\> e della sua derivata rispetto 

 al tempo, in ogni punto del campo. Difatti, da quella ipotesi segue che, 

 colla prescritta forma della soluzione dell'equazione di d'Alembert, questa 

 soluzione è univocamente determinata. Ora, con questo, è assegnato sul con- 

 torno, per ogni valore del tempo, il valore della funzione ty(P,t), confor- 

 memente alla (1) del paragrafo precedente. D'altra parte, da questa espres- 

 sione e da quella che se ne ricava per la derivata rispetto al tempo, cioè da 



4>.(P , t) = A(P) cosa/- — A -f A(P) sin ai- -t 

 \ Cu 1 \ct 



si deduce immediatamente che, note fi(P) , /«(P), pei' ogni punto del campo, 

 sono noti, per gli stessi punti, i valori per t = di <| e della sua derivata 

 rispetto al tempo t, e viceversa. Per modo che l'ipotesi che siano assegnati 

 sul contorno i valori delle fi (P) , f% (P) congloba le circostanze determina- 

 trici suddette della soluzione dell'equazione di d'Alembert ( 1 ). 



§ 5. Poniamo 



xfj (P , t) = f, (P) cos a ^ — A + f 2 (P) sin a ^ — t 



dove y , f x , f 2 sono simboli di vettori, e intendiamo che f!(P),f 2 (P) sod- 

 disfacciano (posti per /", , le equazioni (3) del § 3. Il vettore tfj(P,t) 

 soddisfarà l'equazione di d'Alembert [(1) del § 1]. 

 Poniamo poi 



9 ,(P,^) = rotV(P, t). 



( x ) Analoghe conclusioni si ricavano dalle condizioni deterrainatrici che siano dati, 

 sul contorno, per ogni valore del tempo, i valori della derivata di <\> secondo la normale 

 interna, o questi su parte del contorno, e i valori di 4* sulla parte complementare. 



) 



