Il vettore <p(V ,t) soddisfarà anche la condizione di incompressibilità [sod- 

 disfarà (1) e (2) del § 1]. 



Si trova immediatamente, indicando con g(r) uno scalare, funzione del 

 parametro r. 



rot (f (P) gir)) = gif) rot f (P) + 'g(r) r, A f (P) , 



dove r, indica un vettore avente la direzione della normale alla superficie 

 r = cost. nel punto P, e per grandezza l'unità. Ne viene 



(1) y (P , t) = Pj(P) e0S ccY^ — ij + F 2 (P)sina0 — tj 



dove 



l F 1 (P) = rotf 1 ,(P) + f r, Af 2 (P), 



(2, 



F,(P, =iotf g (P)-- r, Af,(P). 

 [ a 



Poiché g>(P,t) soddio.a l'equazione di d'Alembert [(1) del § 1], 

 F,(P),F 2 (P) dovranno soddisfare le (3) del '§ 3. 

 Si trova poi facilmente, in base a (1), 



(b; div <f = ^div Fi -j- F 2 X r x j cos a ^ — ij + 



+ (di I F ì -^,Xr,)si»«(^-<). 



Per cui, soddisfacendo <p(P,t) la condizione di incompressibilità [(2) del 

 § 1], Fi(P),F 2 (P) debbono ancora soddisfare le equazioni 



(4) divF, + - F 2 Xr! = , div F 2 — - F. X r : = , 



(X Oj 



che si verifica facilmente come scaturiscano dalle (2), qualunque siano 

 fi(P),f.(P). 



Nell'ipotesi, di cui ai § 4 abbiamo rilevato il significato, che una so- 

 luzione delle (3) del § 3 sia univocamente determinata dai valori delle 

 funzioni /\(P) , f t (P) sul contorno del campo, il vettore in discorso y(P , t) 

 sarà univocamente determinato nel campo, dati sul contorno i valori delle 

 due funzioni Fi(P) , F 2 (P) , colla condizione che questi valori soddisfacciano 

 le (4), applicate ai punti del contorno. 



Naturalmente, resta impregiudicata la questione dell'esistenza della so- 

 luzione del duplice sistema di equazioni alle derivate parziali. 



La condizione che il vettore 9>(P . i) sia parallelo al pian tangente in P 

 alla superfìcie r = cost. si traduce, per (1), in 



(5) F,(P)Xr, — , F 2 (P)Xr, = 0, 



