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Matematica. — Saggi d'una teoria geometrica delle forme 

 binarie. Ili: Sistema dei covarianti di dato grado, e teorema di 

 Sylvester. Nota di Annibale Oomessatti, presentata dal Corrisp. 

 P. Severi. 



7. In questa Nota mi propongo di approfondire l' interpretazione geo- 

 metrica dei covarianti d'una forma binaria stabilita nelle precedenti, colle- 

 gandola alla considerazione dei sistemi lineari di ipersuperficie di S„ uniti 

 per le trasformazioni del gruppo r, e traendone una visione d'assieme del 

 sistema dei covarianti di dato grado, che mi sembra atta a gettar luce 

 sull'impostazione di alcuni problemi generali. 



Lo strumento di cui principalmente mi giovo è un importante risultato 

 di Fano (contenuto nella Memoria già citata) sulla struttura dei gruppi 

 continui oo 3 , non integrabili, di trasformazioni proiettive d'uno spazio 

 lineare S d , i cui dettagli verranno precisati man mano che lo richiederà 

 la trattazione. 



8. Sia dapprima <P un covariante di grado l ed ordine m della forma 

 binaria f, 2 il sistema delle relative J P . Il minimo sistema lineare L di 

 ipersuperfìcie d'ordine l di S„ contenente totalmente 2, è evidentemente 

 quello a cui appartengono le ipersuperficie ottenute eguagliando a zero gli 

 m -J- 1 coefficienti di (P, e quindi la sua dimensione d è In virtù 

 della sua stessa definizione, L è mutato in sè da tutte le trasformazioni 

 di r. 



Considerando le ipersuperficie di L come elementi o punti di uno 

 spazio Sd, il gruppo F v'induce un gruppo oo 3 , G di proiettività, che 

 mutano in sè la curva C i cui punti corrispondono alle J P di 2, curva 

 che chiameremo imagine del covariante <P. Essa è d'ordine m, giacché, 

 come risulta dalla definizione di 2 data al n. 3, un sistema lineare oo 1 *- 1 

 contenuto in L ha m ipersuperficie comuni con 2, 



Poiché le trasformazioni di G subordinano sulla curva razionale C il 

 gruppo oo 3 delle relative trasformazioni birazionali, così, se fosse m^> d , 

 quel gruppo dovrebbe mutare in sè la g% delle sezioni iperpiane di C , 

 mentre è noto che sopra un ente razionale non esistono serie lineari (incom- 

 plete) invarianti. 



Sarà dunque d = m, e quindi la C sarà una G m razionale normale; 

 in altre parole gli m -\- 1 coefficienti di <P sono linearmente indipendenti. 



9. Anziché partirci, come al n. prec. dal covariante (P, prendiamo ora 

 le mosse da un sistema L , oo d , d' ipersuperficie d'ordine l di S„ unito in r, 



