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e poniamo come prima gli elementi di L in corrispondenza biunivoca coi 

 punti di un S d . Il gruppo G di trasformazioni proiettive indotto ivi da r, 

 sarà anch'esso oo 3 , giacche se l' isomortismo tra G e r non fosse oloedrico, 

 all' identità in G , corrisponderebbe entro F . un sottogruppo invariante, 

 mentre r, come il gruppo oo 3 delle proiettività di r a cui è isomorfo, è 

 semplice cioè non contiene sottogruppi invarianti^). Inoltre per l'identità 

 di struttura tra G e F, risulterà semplice anche G. 



Sia ora C una curva di S d unita in G. Un suo punto qualunque D 

 risulterà unito per le oo 2 trasformazioni d'un sottogruppo g di G; e per- 

 tanto l' ipersuperficie 4 di S rt corrispondente a D sarà pure unita per le 

 trasformazioni d'un sottogruppo co 2 ,y, di T, cioè per le trasformazioni 

 di r che lascian fisso un certo punto P di G n . Al variare di D su C, 

 l'ipersuperfìcie J descrive dunque un sistema 2, cioè C è imagine d'un 

 covariante <P di f che si dirà appartenente al sistema L. 



La ricerca di tutti i covarianti appartenenti ad L è dunque ricondotta 

 a quella delle curve (razionali normali) di & d unite in G. 



10. Ricorriamo ora ai risultati di Fano. Anzitutto teniamo conto che 

 ogni gruppo proiettivo semplice oo 3 di uno spazio S d trasforma in sè un 

 certo numero di curve razionali normali di ordine che appartengono 

 a spazi fra di loro indipendenti e i cui ordini aumentati ciascuno di 

 un'unità danno per somma d -}- 1 . 



Dette G hl ,G h *,...,G h t quelle curve, appartenenti agli spazi S ft , ,S/j 2 ,...,S fct , 

 potremo, per quanto precede, associare ad esse altrettanti covarianti (Pj , 



d>2 , ... , & t appartenenti al sistema L, e di ordini rispettivi hi , h t , ... , h t 



t 



tali che y~(hi -{- 1) = d -f- 1 ■ Non è escluso che qualcuna delle hi possa 



annullarsi, cioè che la corrispondente curva si riduca ad un punto ; ognuno 

 di tali punti è imagine di un covariante d'ordine zero, cioè di un inva- 

 riante di /. 



Ci proponiamo ora di provare che i covarianti predetti costituiscono un 

 sistema linearmente ( 2 ) completo di covarianti appartenenti al sistema 

 lineare L , cioè che ogni altro covariante appartenente ad L è una combi- 

 nazione lineare a coefficienti costanti di covarianti (dello stesso ordine) estratti 

 dal gruppo considerato. 



11. Sia difatti *P un covariante, d'ordine h, appartenente ad L , e 

 distinto da 3> g , <P 2 , . . . , d> t . La sua imagine in S d sarà una curva razionale 

 normale C ft , unita in G , e distinta da G hl , G hì , . . . , G h t ; e questa circo- 



0) Gfr. Pano, loc. cit., pag. 189. 



( 2 ) L'aggettivo linearmente si aggiunge per evitare equivoci dipendenti dal signifi- 

 cato che la locuzione sistema completo di forine invariautive ha nella teoria classica. 



