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stanza, come ha dimostrato il Fano può verificarsi soltanto se due o più 

 fra i numeri hi sono eguali tra di loro e ad h. 



Supponiamo per semplicità che sia hi = h t = h , le altre hi essendo 

 diverse da h , e diciamo corrispondenti sulle due curve G hl , C fta due punti 

 Pi , Pg quando sono uniti per lo stesso sottogruppo oo 2 , g , di G, cioè quando 

 sono imagini di due ipersuperficie J' P , J" relative ai covarianti d>i , #> 2 e 

 allo stesso punto P di C n . 



Allora, in virtù delle conclusioni di Fano, gli unici punti dello S 2 ft +1 

 individuato da S hl , uniti per tutte le operazioni di g , son quelli della 

 retta P, P 2 ; e ognuno di essi individua una G h razionale normale unita in G . 

 Queste G h sono direttrici della rigata R generata dalle rette congiungenti 

 punti corrispondenti di C 1 , OV, e di esse ne passa una sola per ogni punto 

 di R; inoltre all' infuori di esse non vi sono in Sd altre curve d'ordine l 

 mutate in sè dalle operazioni di G. Al sistema di queste Gh appartiene 

 dunque anche 1- imagine del covariante *P . 



D'altra parte poiché ^ l e Q> 2 hanno lo stesso ordine, ogni forma 



è un covariante di f ; e la relativa imagine in Sa è quindi una G h razionale 

 normale, variabile in un sistema continuo oo 1 . Questo non potrà esser distinto 

 dal sistema predetto, e quindi per convenienti valori di X , fi si avrà : 



W = X<I> 1 + v c. d. d. 



12. Supponiamo ora che L sia il sistema di tutte le forme d'ordine l 

 dello S„ che è evidentemente unito per le operazioni del gruppo r . Sarà 



d = l ì — 1 e quindi potremo concludere col seguente teorema di 



Sylvester (*) : 



La somma degli ordini dei covarianti linearmente indipendenti, di 

 dato grado l, relativi ad una forma binaria d'ordine n aumentati cia- 

 scuno di un'unità, è eguale ad 1^ • 



In altre parole il numero complessivo dei coefficienti d'un sistema linear- 

 mente completo di covarianti di grado l, relativi ad una forma d'ordine n 



è | V; ed inoltre, come risulta dalle considerazioni precedenti, a quei 

 V n ) 



'(») Loc. cit., n. 16. 



( 2 ) Sylvester, Sur les actions mutuelles des formes invariantives dérivées [^Journal fiir 

 Mathematik, Bd. 84 (1878) pp. 89-114] pag. 109. Cfr. anche Stroh, Zur Theorie der Com- 

 binanten QMath. Annalen, Bd. 22 (1883) pp. 393-405] pag. 405. Il teorema è stato esteso 

 a più forme binarie da Study, Meihoden zur Theorie der temetemi Format [Leipzig, Teubner 

 (1889)] pag. 100. 



