V. de Souza Brandäo, Ueber Krystallsysteme. 



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jedesmal die entstandene Symmetrie des Vierecks untersucht 

 und feststellt. 



I. Wenn dem Fundamentalviereck mit den Polen a, b, c, d 

 keine solche Bedingung auferlegt wird, so haben wir das 

 einfach centrisch-symmetrische oder trikline System. 



II. Werden zwei in einem Pole a zusammenstossende 

 Vierecksseiten (ab) und (ac) einander gleich, so wird zunächst 

 dem Viereck keine weitere Symmetrie ertheilt. Wohl aber, 

 wenn die beiden im Pole d zusammenstossenden Seiten (dl) 

 und (de) auch einander gleich, von den beiden ersten aber 

 verschieden sind (Fig. 1). Die Ebene des Grosskreises durch 

 a und d ist eine Symmetrie- 

 ebene des Vierecks, und der 

 darauf senkrecht stehende 

 Kugeldurchmesser ist eine 

 Umklappungsaxe, sobald die 

 Gegenpole a', b' , c', df mit 

 berücksichtigt werden. Das 

 sphärische Deltoid (ab cd) be- 

 sitzt also, in Verbindung mit 

 seinem Gegendeltoid (a\ b\ c\ 

 d'), die Symmetrie der mono- 

 klinen Holoedrie und definirt 

 das bezügliche System. 



Die Schnittpunkte e und f der Grosskreise ab und cd 

 einerseits und ac und bd andererseits bestimmen mit b und c 

 ein sphärisches Trapez, welches auch als das Fundamental- 

 viereck des monoklinen Systems angesehen werden kann. Im 

 Deltoid sind die Seiten paarweise, und zwar anliegende Seiten 

 wie (ab) und (ac), (db) und (de), gleich, und von den Winkeln 

 sind zwei gegenüberliegende (b) und (c) einander gleich, 

 während die beiden anderen (a) und (d) verschieden sind und 

 vom Grosskreis ab halbirt werden. Im Trapez dagegen ver- 

 halten sich die Winkel wie die Seiten des Deltoids und die 

 Seiten wie die Winkel des letzteren; das Trapez ist die 

 Polarfigur des Deltoids auf der Kugel und hat demgemäss 

 dieselbe Symmetrie wie dieses. 



Es muss bemerkt werden, dass die Winkel (b) und (c) 

 des Deltoids symmetrisch (nicht congruent) gleich sind. 



