V. de Souza Brandäo, Ueber Krystallsysteme. 



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sin | \v 



_ V2 



"woraus 



cos w = 



2sinis ' 

 1 4- cos s 



1 — coss 



Ersetzt man nun in der auf das Dreieck (abc) an- 

 gewendeten Hauptgleichung der sphärischen Trigonometrie 



cos t = cos 2 s + sin 2 s cos w, 

 t durch s und cosw durch obigen Werth, so folgt 

 3cos 2 s — 2 coss — 1 =0 



und schliesslich 



coss = — -i, cosw = — i 



(wir schliessen ohne weiteres die Lösung coss = 1 aus), 

 welche Werthe das (reguläre) Tetraeder charakterisiren. 

 Die Symmetrie desselben, bekannt genug, geht durch Heran- 

 ziehung der Gegenpole a\ V, &, cV in diejenige des (regulären) 

 Oktaeders über, welche mit derjenigen der tesseralen Holoedrie 

 übereinstimmt, und zur Symmetrie des regulären oder tessera- 

 len Systems wird. 



Beim einschreibbaren Quadrat kann man die Diagonalen 

 nicht den Seiten gleichmachen, ohne damit das Quadrat als 

 solches zu zerstören. Es giebt 

 aber eine ausgezeichnete 

 einzige Dimension , welche 

 durch die Relation 

 s + t = 180° 

 gekennzeichnet ist; die un- 

 möglich gewordene Gleich- 

 setzung von s und t geht 

 in Ergänzung zu n über. In 

 dem, von der halben Seite 

 (ae) = Js, von der halben 

 Diagonale (a/) = £ t = 90° 

 — | s und von dem halben 



Abstand (ef) zweier gegenüberliegender Seiten, gebildeten 

 Dreieck (Fig. 10), dessen Winkel 45°, 90°, £w sind, gilt 



sinjw 



und 



2 cos i s 

 1 



2 



COSS 



1 -f- COS s ' 



