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V. de Souza Brandao, lieber Krystallsysteme. 



Da andererseits 



cos t = cos 2 s -f- sin 2 s cos w 



und 



t = 71 — S, 



so folgt 



3 cos 2 s — j— 2 cos s — 1 = 



und schliesslich 



cos s = — j— cos w == — \ , 



d. h. s = 70° 31', der bekannte Oktaederwinkel. 



Zieht man die Gegenpole a\ c\ df in Betracht, so wird 

 die Kugelfläche (da z.B. (da') = 180° — (ad) ==(ab) = (ac) = . . . .) 

 durch die weniger als 90° (also 70° 31' ca.) betragenden Gross- 

 kreisbogen in sechs gleiche sphärische Quadrate von der an- 

 gegebenen Seitengrösse getheilt, deren Endpunkte die Oktaeder- 

 pole darstellen. Die Pole der diesen Quadraten um- und 

 eingeschriebenen Kleinkreise sind diejenigen des Würfels, der 

 correlativen Figur des Oktaeders, dessen Symmetrie also 

 gleich derjenigen des letzteren ist. Diese Symmetrie ist 

 vorhin als die für das tesserale System charakteristische an- 

 genommen worden. 



Endlich wäre noch an die Einführung von \tc be- 

 tragenden Bogen und Winkeln zu denken. Bei den untersten, 

 nicht mehr als zwei gleiche Elemente besitzenden, Vierecken 

 führt diese Beschränkung zu keiner neuen Symmetrieart ; erst 

 dort, wo sich vier oder drei gleiche Elemente finden, hat 

 man eine solche Prüfung vorzunehmen. Aber gerade dort, 

 wo die vier Seiten oder die vier Winkel des Vierecks 

 (Ehombus, Rechtecks, Quadrates) unter sich gleich sind, 

 dürfen dieselben nicht bis zu \ n wachsen, resp. abnehmen r 

 ohne dass zugleich das Viereck aufhört, zu existiren. Es 

 bleibt also das centrirte Dreieck des rhomboedrischen Systems 

 übrig. 



Macht man die Seiten dieses Dreiecks zu solchen von \ n, 

 wodurch seine Winkel zugleich dasselbe Maass erhalten, so 

 wird hierdurch die Theilung der Kugelfläche in gleiche (und 

 gleichseitig dreieckige) Oktanten bewirkt, deren Ecken die 

 Pole des Würfels darstellen. In den Mittelpunkten der diesen 

 Dreiecken um- und eingeschriebenen Kleinkreise befindet sick 

 der Kugelpunkt d und die mit demselben, bezüglich der Kugel- 



