V. de Souza Brandäo, Ueber Krystallsystenie. 



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durchmesser durch a, b, c als vierzählige Drehungsaxen, 

 symmetrischen und ersichtlich rationalen Punkte, deren Ge- 

 sammtheit die Polfigur des Oktaeders bildet. 



Mit von den eben abgeleiteten verschiedenen Symmetrie- 

 eigenschaften begabte sphärische Vierecke resp. Doppelvier- 

 ecke , wenn jedesmal Pol und Gegenpol in Betrachtung ge- 

 zogen werden, sind nicht denkbar. 



Man sieht hieraus, dass die Untersuchung der symmetri- 

 schen Eigenschaften des sphärischen Vierecks sich dazu ver- 

 wenden lässt, die möglichen und notwendigen Krystall- 

 systeme zu unterscheiden. Die Gegenpole a', b\ c', d\ 

 welche jedesmal zur Aufstellung der Systemsymmetrie heran- 

 gezogen worden sind, sind nichts Neues, indem sich dieselben 

 von selbst durch den zweiten Schnitt der die Ecken a, b, c, d, 

 verbindenden Grosskreise ergeben. 



Der erste Theil dieser Notiz stellte in keiner Weise die 

 directe Lösung der Hauptaufgabe dar, die möglichen Gruppen 

 krystallographischer Complexe nach der bezüglichen Symmetrie 

 aufzustellen. Vielmehr hatten wir nur dabei versucht, die 

 als bekannt vorausgesetzten 32 Symmetrieclassen von kry- 

 stallographischen Polyedern solcher Art in Gruppen höherer 

 Ordnung unterzubringen, dass sämmtliche Gassen einer solchen 

 Gruppe (Krystallsystems) dasselbe symmetrische Verhalten 

 dem Zonengesetz gegenüber aufzuweisen hätten. 



In diesem zweiten Theil haben wir nun gezeigt, dass, 

 auch ohne Kenntniss der genannten Symmetrieclassen und auf 

 Grund des fundamentalen Vierecks allein, sich eine Eintheilung 

 der krystallographischen Complexe nach symmetrischen Eigen- 

 schaften mit aller Strenge durchführen lässt, und dass die so 

 aufgestellten Gruppen eben dieselben sind wie die Krystall- 

 systeme des ersten Theiles. 



Diese Aufstellung der Krystallsysteme, unabhängig von 

 den krystallographischen Symmetrieclassen, scheint uns von 

 der grössten theoretischen Wichtigkeit zu sein. Hierdurch wird 

 die geometrische Krystallographie im engeren Sinne, d. h. die 

 mathematische Lehre von dem aus dem Zonengesetz fliessen- 

 den krystallographischen Complex, von der Kenntniss der 

 Krystallclassen auch unabhängig, sie kann letztere sogar 

 ignoriren. Es genügt, die Kesultate der allgemeinen geo- 



