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V. de Souza Brandäo, lieber Krystallsysteme. 



metrischen Krystallographie auf sechs Complexe anzuwenden, 

 deren jedem eines unter den sechs verschieden symmetrischen 

 Doppelvierecke zu Grunde gelegt wird. 



Dadurch erhalten jene Eesultate und die bezüglichen 

 Formeln gewisse, im tesseralen System am weitesten gehende 

 Vereinfachungen, welche gerade den besonderen Gegenstand 

 der speci eilen geometrischen Krystallographie ausmachen, 

 und damit hat die geometrische Krystallographie im engeren 

 Sinne ihren Gegenstand erschöpft. Alles Übrige, wie Auf- 

 stellung der Krystallclassen, Beschreibung von deren einfachen 

 Formen etc., ist Aufgabe der physikalischen Krystallographie 

 (Wachsthums- und Auflösungseigenschaften), wird aber zweck- 

 mässigerweise im Anschluss an die geometrische Krystallo- 

 graphie behandelt. 



Dem eben berührten Umstand betreffs der Zugehörigkeit 

 der geometrischen Symmetrielehre zur physikalischen Kry- 

 stallographie ist schon von Th. Liebisch in seinem Werk 

 (Physikalische Krystallographie. 1891) Rechnung getragen 

 worden. Nur scheint es dort an einem allgemeinen Princip 

 zu fehlen, nach welchem die Krystallclassen zu Systemen und 

 Systemabtheilungen gruppirt wären. Wir wollen ein solches 

 Princip völlig unabhängig von krystallographischen Betrach- 

 tungen aufzustellen versuchen, und dabei zugleich zeigen, 

 dass immer wieder die Krystallsysteme zur Erscheinung 

 gelangen. 



Es handelt sich zunächst darum, eine einheitliche Auf- 

 fassung der Symmetrieelemente zu gewinnen. 



Auf die Definition von symmetrischen Figuren, wonach 

 dieselben sich selbst auf mehr als eine Art gleich und 

 ähnlich sind, mögen sie dabei congruent sein oder nicht, 

 hat Möbius seine eigenthümliche Methode der Symmetrie- 

 gleichungen begründet. Ohne auf die Vorzüge und Leistungen 

 dieser Methode hier weiter einzugehen, ist es doch unver- 

 kennbar, dass in den fünf ersten Capiteln der MöBius'schen 

 Abhandlung: Theorie der symmetrischen Figuren, II 

 (Gesam. Werke. 2. 561) sich die rein geometrischen Sätze 

 entwickelt finden, aus denen man, nach kinematischer Auf- 

 fassung, die möglichen Symmetrieelemente und elementaren 



