V. de Souza Brandao, Ueber Krystallsysteme. 



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Symmetrieoperationen ableiten kann. Dem krystallographischen 

 Gegenstand entsprechend, denken wir uns die Figuren aus 

 Punkten einer Kugelfläche gebildet, welche immer als die 

 sphärischen Schnitte der durch den Kugelmittelpunkt ge- 

 zogenen Normalen der Flächen eines Polyeders angesehen 

 werden können. 



Wir können dann die MöBius'schen Sätze folgender- 

 maassen übersetzen und zusammenfassen: 



I. Die Punkte können zu zwei einander zugeordnet sein. 

 Daraus fliesst die zweizählige Symmetrie im Allgemeinen, 

 welche dreierlei Art ist: 1. Symmetrie gegen einen Punkt, 

 dem in seiner Art einzigen Kugelmittelpunkt (Centrum der 

 Symmetrie); 2. Symmetrie gegen eine Gerade, einen Kugel- 

 durchmesser (zweizählige Drehungsaxe) ; 3. Symmetrie gegen 

 eine Ebene, eine Diametralebene der Kugel (Symmetrieebene). 

 Je zwei zugeordnete Punkte befinden sich im ersten Fall an 

 den beiden Enden eines Kugeldurchmessers, im zweiten an 

 den Enden einer die Drehungsaxe rechtwinkelig schneidenden 

 Sehne, im dritten an den Enden einer zur Symmetrieebene 

 normalen Sehne. 



II. Die Punkte können zu 3, 5 etc. allgemein zu (2m -f 1) 

 einander zugeordnet sein, wo m eine positive ganze Zahl 

 bedeutet. Daraus fliesst die ungeradzählige Drehungsaxe, 

 welche die gemeinschaftliche geometrische Axe 1 der von 

 den Punktzuordnungen gebildeten, Kleinkreisen einschreib- 

 baren , regulären sphärischen (2 m + 1)-Ecke ist. Die un- 

 geradzählige Symmetrie ist von einer einzigen Art und hat, wie 

 gesagt, eine reine Drehungsaxe als kinematisches Darstellungs- 

 mittel. 



III. Die Punkte der Kugelfläche können zu 4, 8, 12 all- 

 gemein zu (2 2 m) einander zugeordnet sein. Die Pole jeder 

 Zuordnung besetzen die Ecken eines regulären sphärischen 

 (2 2 m)-Ecks, und sämmtliche so gebildete Polygone besitzen 

 denselben Kugeldurchmesser als geometrische Axe. 



1 Unter geometrischer Axe wird hier diejenige Gerade verstanden, 

 welche die von allen Ecken des regulären Polygons gleich entfernten 

 Punkte verbindet. Ist das Polygon uneben, so ist dessen orthogonale Pro- 

 jection auf die Mittelebene in Betracht zu ziehen. 



