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V. de Souza Brandäo, Ueber Krystallsysteme. 



Ein reguläres sphärisches (2 2 m)-Eck kann aber von 

 zweierlei Art sein ; entweder liegen seine sämmtlichen Ecken in 

 einer Ebene, das Polygon ist einem Kleinkreise einschreibbar, 

 oder die Ecken liegen abwechselnd in zwei Ebenen, welche unter 

 sich und einer von beiden Ebenen gleich entfernten Diametral- 

 ebene parallel sind. Im ersten Fall hat die Figur in ihrer 

 gemeinschaftlichen geometrischen Axe eine (2 2 m)-zählige Dre- 

 hungsaxe, im zweiten ist die, zur Mittelebene normale, geo- 

 metrische Axe eine (2 2 m)-zählige zusammengesetzte oder besser 

 Deformations-Drehung saxe, indem durch eine kleinste 

 Drehung von 2rc/2 2 m, verbunden mit der Inversion gegen das 

 Kugelcentrum oder der Spiegelung gegen die Mittelebene, die 

 von der Selbstgleichheit angedeutete Deckung zu Stande 

 kommt. Die Inversion ebenso wie die Spiegelung dürfen als 

 reine Dilatationen mit negativem Coefficient ( — 2) , also un- 

 physisch, angesehen werden. Daher die Bezeichnung De- 

 formations-Drehungsaxe, wodurch zugleich ausgedrückt wird, 

 dass in diesem Fall Inversion und Spiegelung zu demselben 

 Resultat führen. 



Es giebt also im Ganzen zwei Arten doppeltgeradzähliger 

 Symmetrieelemente: doppeltgeradzählige Drehungsaxen und 

 doppeltgeradzählige Deformations-Drehungsaxen. 



IV. Die Punkte können endlich zu 6 , 10 allgemein zu 

 (2 [2 m -\- 1]) einander zugeordnet sein. Wir haben wieder 

 lauter reguläre (2 [2 m -f- 1])-Ecke mit einem Kugeldurchmesser 

 als gemeinschaftliche geometrische Axe, sie sind aber hier 

 von drei verschiedenen Arten, entsprechend den zweizähligen 

 Symmetriearten, für welche m den Werth Null erhält, und 

 die eigentlich bei dieser Gelegenheit hätten mit behandelt 

 werden können. Es sind dies : 1. die Polygone, welche einem 

 Kleinkreise einschreibbar sind und eine doppeltungerad-, 

 (2 [2 m -j- l])-zählige reine Drehungsaxe zum Symmetrie- 

 element besitzen ; 2. die schiefen (nicht einschreibbaren) Poly- 

 gone, bei denen die durch eine Ecke gezogene, der Mittel- 

 ebene normale Sehne am anderen Endpunkt keine Ecke trägt 

 (entsprechend dem zweizähligen Symmetriecentrum wenn m = o 

 wird) und speciell durch eine doppeltungerad-, (2 [2 m + 1])- 

 zählige Spiegelungs-Drehungsaxe charakterisirt werden; 

 3. solche schiefe Polygone, bei denen die zur Mittelebene 



