V. de Souza Brandäo, Ueber Krystallsysteme. 



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normalen Sehnen in ihren Kugelschnitten entweder zwei oder 

 keinen Polygonpunkt tragen und eine doppeltungerad-, 

 (2 [2m -f- l])-zählige Inversions-Drehungsaxe haben (zwei- 

 zählige Symmetrieebene für m = 0). 



Hiernach giebt es drei Arten doppeltungeradzähliger Sym- 

 metrieelemente. Sie sind aber, im Gegensatz zu den beiden 

 starren doppeltgeradzähligen Synimetrieaxen, zerlegbar, und 

 zwar jedesmal in die ungeradzählige (reine) Drehungsaxe von 

 der halben Zähligkeit (2m-j-l) und (1.) die zweizählige 

 Drehungsaxe von derselben Richtung, oder (2.) das Symmetrie- 

 centrum, oder (3.) die zur Axe senkrechte Symmetrieebene, je 

 nachdem die doppelt ungeradzählige Axe eine reine Drehungs- 

 axe oder eine Spiegelungs- oder eine Inversions-Drehungs- 

 axe ist. 



Vergleichen wir nun die doppeltgeradzähligen und die 

 doppeltungeradzähligen Deformations -Drehungsaxen mitein- 

 ander, so fällt auf den ersten Blick folgende Relation auf: 

 die doppeltgeradzählige Deformations-Drehungsaxe ist als das- 

 jenige Synmietrieelement anzusehen, welches bei den doppelt- 

 geradzählig symmetrischen Gebilden beides, Inversions- und 

 Spiegelungs-Drehungsaxen der doppeltungeradzähligen Gebilde, 

 zugleich vertritt, indem sie ebenso als Inversions- wie als 

 Spiegelungsaxe angesehen werden kann. 



Geht man aber in das Wesen der Sache etwas näher ein, 

 so fragt es sich, ob die Symmetrieebene und das Symmetrie- 

 centrum als zweizählige, also als doppeltungeradzählige Ele- 

 mente nicht durch Axen irgend einer der angeführten Arten 

 ersetzt gedacht werden können und sollen, wodurch die Theorie 

 bedeutend an Einheitlichkeit gewinnen würde. In der That 

 stellt sich leicht heraus, dass die Symmetrieebene eine zwei- 

 zählige Inversions-Drehungsaxe ist, und zwar von be- 

 stimmter, zur Spiegelungsebene normaler Richtung; das 

 Symmetriecentrum dagegen kann zwar als zweizählige Spie- 

 gelungs-Drehungsaxe angesehen werden, diese Axe würde aber 

 jeder beliebige Durchmesser der Kugel sein können, sie wäre 

 der Richtung nach unbestimmt und es würde ihr somit 

 das fundamentale Merkmal einer Synrmetrieaxe fehlen. 



Dieses mittelst des niedrigsten Werthes von m (= 0) ge- 

 wonnene Resultat verallgemeinernd, werden wir forthin nur 



