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V. de Souza Brandao, Ueber Krjstallsysteme. 



sechszähligen Axe (sechszählige Inversions-Dreh- 

 ungsaxe). Es ist die übliche zweiclassige spheno- 

 idische Abtheilung des hexagonalen Systems. 



5. Tetragonales System. Eine einzige Richtung vier- 

 zähliger Axen. Zerfällt in zwei Abteilungen : 



ß) Positive tetragonale oder einfach tetragonale 

 Abtheilung; filnfclassig wie üblich. 



y) Negative tetragonale oder sphenoidische Ab- 

 theilung; zweiclassig. 



6. Tesserales System. Vier Richtungen dreizähliger 

 Axen. Fünfclassig. 



Es ergeben sich hier, wie wir sehen, ganz dieselben 

 Systeme wie bei der krystallographischen Methode mittelst 

 der fundamentalen Vierecke. Es ist auch einleuchtend, wie sich 

 die unendlich vielen, nicht krystallographischen, diedrischen 

 Symmetriesysteme zusammensetzen, zu denen nur noch das 

 ikosaedrische hinzukommt. 



Insbesondere stellt sich auch hier die rhomboedrische 

 Symmetrie als die für ein System charakteristische heraus. 



Lehrreich ist unter anderem der Vergleich des trigonalen 

 Systems mit dem tetragonalen und dem tesseralen. Mit der 

 trigonalen oder Hauptabtheilung des trigonalen Systems lässt 

 sich das tesserale vollkommen parallelisiren, jeder Classe der 

 ersteren entspricht eine Classe des letzteren; in beiden ist 

 die Richtung einer dreizähligen Axe weder Richtung einer 

 positiven, noch einer negativen zweizähligen Axe (Normale 

 einer Symmetrieebene). Ebenso lassen sich die zwei Ab- 

 theilungen ß) und y) des trigonalen Systems mit den gleich- 

 namigen Abtheilungen des tetragonalen Systems Classe für 

 Classe parallelisiren. 



Jede andere als die hier auseinandergesetzte Bildung 

 der Symmetriesysteme dürfte einer sicheren theoretischen 

 Grundlage entbehren, und es hat die vorliegende gerade den 

 Vorzug, die krystallographisch möglichen Symmetriesysteme 

 mit den früher abgeleiteten Krystallsystemen identisch zu 

 machen. 



Anmerkung I. Die Bezeichnung sphenoidisch passt 

 nicht gut für die zwei Classen, welche neben einer dreizähligen 



