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H. Th. Paug, 



ce qui prouve d'abord qu'tine certaine developpante de la surface cy- 

 clifiante se trouve entiere dans la surface polaire de la courbe fondamen- 

 tale, et ensuite que la distance entre les points correspondants de ces 

 deux courbes reste toujours la meme. Par consequent, cette d6velop- 

 pante se transforme en cercle, si nous deployons la surface polaire de 

 la courbe fondamentale, chose qui est bien connue. Liquation 



K Cos 03 = - 

 r 



montro qu'il y a deux surfaces cycliflantes pour chaque valeur admissi- 

 ble de r. 



ll:o. Soit la courbe fondamentale une ligne de courbure d'une sur- 

 face quelconque, et soit la surface developpable l'enveloppe du plan 

 tangent, il faut que la g6neratrice de la surface d6vcloppable et la tan- 

 gente de sa courbe fondamentale deviennent tangentes conjuguees, et 

 nous aurons par consequent 



tgt = oo 



on 



T + f = 



as 



ou encore 



dco" 1 



formule connue, duo a Lancret. 



12:o. Nous finirons par generalise!- la formule de Lancret. 



La courbe fondamentale etant situee dans une surface quelconque, 

 et la surface developpable etant l'enveloppe du plan tangent, il faut, 

 comme nous l'avons deja dit, que la tangente de la courbe et la genera- 

 trice de la surface developpable, soient tangentes conjuguees. Si nous 

 designons done les rayons de courbure des sections principales par p 1 et 

 (> 2 , et par r x et r 2 ceux des sections normales, dont les tangentes coin- 

 cident avec la tangente de la courbe fondamentale et sa tangente con- 

 juguee, nous aurons en vertu d'une des proprietes de l'indicatrice de 

 Dupin au cas d'une surface concavo-concave 



r x + r 2 = ?! + Q 2 , 

 Yr.r, Sin* = Vp^, 

 d'ou il suit que 1\ et r 2 sont les racines de liquation 



